Exercícios Resolvidos de Cálculo de Transformada de Laplace

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Enunciado

Mostre que a função f ( t ) = 1 t 2 não possui transformada de Laplace.

Passo 1

Eaew, tudo certinho contigo?

Temos que mostrar que

f ( t ) = 1 t 2

Não possui transformada de Laplace. Vamos usar a definição da transformada de Laplace para isso. Vem comigo!

Passo 2

Então, temos que a definição da transformada de Laplace é

  ℒ { f ( t ) } = ∫ 0 ∞ f ( t ) e - s t d t

Para o nosso problema, é interessante escrever da seguinte forma

ℒ { f ( t ) } = ∫ 0 ∞ f ( t ) e - s t d t = ∫ 0 1 f ( t ) e - s t d t + ∫ 1 ∞ f ( t ) e - s t d t

Então, para a função f ( t ) = 1 t 2

ℒ { 1 t 2 } = ∫ 0 1 1 t 2 e - s t d t + ∫ 1 ∞ 1 t 2 e - s t d t

Passo 3

Vamos olhar para a primeira integral, que é uma integral imprópria, então escrevemos:

∫ 0 1 1 t 2 e - s t d t = l i m b → 0 ∫ b 1 e - s t t 2 d t

Vamos resolver por integral por partes, sendo

d v = 1 t 2 d t - > v = - 1 t

e

u = e - s t - > d u = - s   e - s t

então,

l i m b → 0 ∫ b 1 e - s t t 2 d t = - l i m b → 0 e - s t t | b 1 - s l i m b → 0 ∫ b 1 e - s t t d t

Passo 4

Olhando para o primeiro termo dessa integral e aplicando o limite

- l i m b → 0 e - s t t | b 1 = - e - s + l i m b → 0 e - s b b = - e - s + 1 l i m b → 0 b - >

Então, olhando para esse termo, temos que essa integral é divergente.

Passo 5

Assim, como mostramos a divergência, temos que a função f ( t ) = 1 t 2 não possui transformada de Laplace.

A questão foi isso! Te vejo na próxima! Tchau Tchau!

Resposta

No decorrer da questão.

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Em cada um dos problemas de 21 a 24, encontre a transformada de Laplace da função dada.22. f ( t ) t , 0 ≤ t1 0 ,1 ≤ t∞
Em cada um dos problemas de 25 a 28, determine se a integral dada converge ou diverge.25. ∫ 0 ∞ t 2 + 1 - 1d t
Em cada um dos problemas de 1 a 4 , esboce o gráfico da função dada. Em cada caso, determine se f é continua, seccionalmente contínua, ou nenhuma das duas no intervalo 0 ≤ t ≤ 3 .2. f t = t 2 , 0 ≤ t
Em cada um dos problemas de 25 a 28, determine se a integral dada converge ou diverge.28. ∫ 0 ∞ e - t c o s td t
Em cada um dos problemas de 21 a 24, encontre a transformada de Laplace da função dada.21. f ( t ) 1 , 0 ≤ tπ 0 ,π ≤ t∞