Exercícios Resolvidos de Cálculo de Transformada de Laplace

Ver Teoria

Enunciado

( b ) Pela definição, calcule a transformada de Laplace da função (justificando os passos)

f t = e 2 t ,     0 ≤ t < 1 4 ,     1 ≤ t

Passo 1

Legal, vamos usar a definição:

L f t = ∫ 0 ∞ f ( t ) e - s t d t    

Se a gente separar os intervalos da integral, dá para substituir a expressão:

L f t = ∫ 0 ∞ f ( t ) e - s t d t = ∫ 0 1 e 2 t e - s t d t + ∫ 1 ∞ 4 e - s t d t

Que vai ficar:

L f t = ∫ 0 1 e t 2 - s d t + ∫ 1 ∞ 4 e - s t d t

Passo 2

∫ 0 1 e t 2 - s d t

Para resolver essa integral, vamos usar a regra da substituição:

u = t 2 - s → d u = 2 - s d t

Além disso: quando t = 0 → u = 0 e t = 1 → u = 2 - s

Substituindo:

∫ 0 1 e t 2 - s d t = ∫ 0 2 - s e u 2 - s d u = e u 2 - s 0 2 - s = e 2 - s 2 - s - e 0 2 - s = e 2 - s 2 - s - 1 2 - s

Passo 3

∫ 1 ∞ 4 e - s t d t

Perceba que essa é uma integral imprópria, então:

∫ 1 ∞ 4 e - s t d t = lim x → ∞ ⁡ ∫ 1 x 4 e - s t d t = 4 lim x → ∞ ⁡ - e - s t s 1 x = 4 lim x → ∞ ⁡ - e - s x s + e - s s = 4 e - s s

Passo 4

Nossa transformada será:

L f t = ∫ 0 ∞ f t e - s t d t = ∫ 0 1 e 2 t e - s t d t + ∫ 1 ∞ 4 e - s t d t

L f t = e 2 - s 2 - s - 1 2 - s + 4 e - s s

Pronto, é só isso :D

Resposta

L f t = e 2 - s 2 - s - 1 2 - s + 4 e - s s

Exercícios de Livros Relacionados

Em cada um dos problemas de 21 a 24, encontre a transformada de Laplace da função dada.22. f ( t ) t , 0 ≤ t1 0 ,1 ≤ t∞
Em cada um dos problemas de 25 a 28, determine se a integral dada converge ou diverge.25. ∫ 0 ∞ t 2 + 1 - 1d t
Em cada um dos problemas de 1 a 4 , esboce o gráfico da função dada. Em cada caso, determine se f é continua, seccionalmente contínua, ou nenhuma das duas no intervalo 0 ≤ t ≤ 3 .2. f t = t 2 , 0 ≤ t
Em cada um dos problemas de 25 a 28, determine se a integral dada converge ou diverge.28. ∫ 0 ∞ e - t c o s td t
Em cada um dos problemas de 21 a 24, encontre a transformada de Laplace da função dada.21. f ( t ) 1 , 0 ≤ tπ 0 ,π ≤ t∞