Exercícios Resolvidos de Cálculo de Transformada de Laplace

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Enunciado

Determine a solução do problema de valor inicial utilizando a transformada de Laplace.

e )   y ' ' + y = cos ⁡ t ,     y 0 = 1 ,     y ' 0 = - 1

Passo 1

Fala aí galera, tudo bem?

Nessa questão temos uma EDO no famoso problema de valor inicial (PVI):

y ' ' + y = cos ⁡ t y 0 = 1 y ' 0 = - 1

Para resolver esse PVI devemos usar a transformada de Laplace. Vocês lembram como podemos fazer isso?

Então gente, a ideia é seguir algumas etapas bem tranquilas, tipo uma receita de bolo. Se liga só:

1 ) Aplicar Laplace à EDO;

2 ) Isolar L { y } , encontrando uma expressão para a transformada de y (não se esquecer de substituir os valores iniciais que o problema deu);

3 ) Decompor a expressão de L { y } em frações parciais;

4 )   Reconhecer funções por suas transformadas, para identificar y a partir da expressão encontrada na etapa anterior.

Perfeito galera! Agora que já vimos o bizu é só colocar a mão na massa!

Vem comigo 😊

Passo 2

Bom, a primeira etapa é aplicar a transformada de Laplace à nossa EDO.

L y ' ' + y = L { cos ⁡ t }

Pela linearidade da transformada de Laplace, podemos separar essa subtração no lado esquerdo:

L y ' ' + L y = L { cos ⁡ t }

Massa!

Agora, vamos lembrar a expressão da transformada de Laplace para uma derivada de ordem n :

L y n = s n L y - s n - 1 y 0 - s n - 2 y ' 0 - … - s 1 ⋅ y n - 2 ( 0 ) - y n - 1 ( 0 )

Show! Vamos então aplicar essa fórmula em L { y ' ' } e em L { y ' } . Temos:

L y ' ' = s 2 L y - s 1 ⋅ y 0 - y ' ( 0 )

Substituindo os valores iniciais:

L y ' ' = s 2 L y - s - ( - 1 )

Boa!

Substituindo esses dois resultados na nossa EDO:

s 2 L y - s + 1 ) + L y = L { cos ⁡ t }

Precisamos calcular a transformada da função do lado direito da igualdade. Lembrando que:

L cos ⁡ ω t = s s 2 + ω 2

Logo:

L cos ⁡ t = s s 2 + 1

Substituindo na EDO, ficamos com:

s 2 L y - s + 1 ) + L y = s s 2 + 1

Perfeito! Muito bom pessoal!

Passo 3

Vamos para a próxima etapa!

2 ) Isolar L { y } , encontrando uma expressão para a transformada de y :

No passo anterior, encontramos:

s 2 L y - s + 1 ) + L y = s s 2 + 1

Daí, isolando L y , vem:

L y s 2 + 1 = s s 2 + 1 + ( s - 1 )

= s + s 3 + s - s 2 - 1 s 2 + 1

= s 3 - s 2 + 2 s - 1 s 2 + 1

Daí, podemos usar um truque bem legal nesse numerador. Se liga só:

s 3 - s 2 + 2 s - 1 = s 3 + s + s - ( s 2 + 1 )

= s s 2 + 1 - s 2 + 1 + s

Colocando s 2 + 1 em evidência:

= s 2 + 1 s - 1 + s

Substituindo esse resultado na fração toda, temos:

L y s 2 + 1 = s 2 + 1 s - 1 + s s 2 + 1

= s - 1 + s s 2 + 1

Isolando L { y } :

L y = s s 2 + 1 - 1 s 2 + 1 + s s 2 + 1 2

Prontinho!

Passo 4

3 ) Decompor a expressão de L { y } em frações parciais:

Temos:

L y = s s 2 + 1 - 1 s 2 + 1 + s s 2 + 1 2

Olha que lindo! Nossa expressão já está decomposta em frações parciais. Então, podemos ir para o próximo passo! 😊

Excelente!

Passo 5

4 )   Reconhecer funções por suas transformadas, para identificar y a partir da expressão encontrada na etapa anterior.

Bom, encontramos que:

L y = s s 2 + 1 - 1 s 2 + 1 + s s 2 + 1 2

Quais funções possuem essas transformadas?

Para o primeiro termo, temos:

L cos ⁡ ω t = s s 2 + ω 2

Daí, fazendo ω = 1 , temos:

L cos ⁡ t = s s 2 + 1

Perfeito, já sabemos então qual função gera o primeiro termo. No segundo termo temos:

1 s 2 + 1

Podemos usar que:

L s e n   ω t = ω s 2 + ω 2

Daí, fazendo ω = 1 , temos:

L s e n   t = 1 s 2 + 1

Por fim, temos o termo:

s s 2 + 1 2

Pra encontrar a função que gera ele, vamos precisar realmente conhecer nossa tabelinha de transformada de Laplace muito bem. Pois:

L t s e n ω t = 2 ω s s 2 + ω 2 2

Muito bom, a partir disso, podemos escrever que:

1 2 L t s e n ω t = ω s s 2 + ω 2 2

E, quando ω = 1 , vem:

1 2 ⋅ L t s e n   t = s s 2 + 1 2

Perfeito! Juntando tudo e usando a linearidade da transformação, vem que:

L y = cos ⁡ t - s e n   t + t ⋅ s e n   t 2

Portanto:

y ( t ) = cos ⁡ t + s e n t ⋅ t 2 - 1

Muito bom pessoal! Matamos mais uma questaozita!

Até a próxima 😊

Resposta

y ( t ) = cos ⁡ t + s e n t ⋅ t 2 - 1

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