Exercícios Resolvidos de Cálculo de Transformada de Laplace

Ver Teoria

Enunciado

Sabendo que a Transformada de Laplace de uma função F t   ( t > 0 ) denotada aqui por L F t é definida por:

Considere f t definida para 0 ≤ t ≤ ∞ . A de   f t é dada pela fórmula

  L F t =   f s = ∫ 0 ∞ F t e - s t d t

E usando a linearidade do operador em questão, determine a Transformada de Laplace da função elementar F t = 3 e 5 t + 2 t 3 + 5

Passo 1

Fala aí!! Essa questão quer que a gente calcule a transformada de Laplace da função:

F t = 3 e 5 t + 2 t 3 + 5

L 3 e 5 t + 2 t 3 + 5 = ∫ 0 ∞ 3 e 5 t + 2 t 3 + 5 e - s t d t = ∫ 0 ∞ 3 e 5 t e - s t d t + ∫ 0 ∞ 2 t 3 e - s t d t + ∫ 0 ∞ 5 e - s t d t

Vamos resolver separadamente cada integral:

1) ∫ 0 ∞ 3 e 5 t e - s t d t = lim k → ∞ ⁡ ∫ 0 k 3 e 5 t e - s t d t = lim k → ∞ ⁡ 3 e 5 t e - s t 5 - s 0 k = lim k → ∞ ⁡ 3 e 5 - s k 5 - s - 1 5 - s

Para s < 5 , o limite tende a infinito.

Para s > 5 , temos:

∫ 0 ∞ 3 e 5 t e - s t d t = 3 s - 5

2) ∫ 0 ∞ 2 t 3 e - s t d t = lim k → ∞ ⁡ ( ∫ 0 ∞ 2 t 3 e - s t d t )

Nessa integral, teremos que fazer integração por parte três vezes e chegaremos a:

lim k → ∞ ⁡ ( ∫ 0 ∞ 2 t 3 e - s t d t ) = lim k → ∞ ⁡ 2 s 4 - s 3 e - s t t 3 - 3 s 2 t 2 e - s t - 6 t e - s t - 6 e - s t 0 k  

lim k → ∞ ⁡ 2 s 4 - s 3 e - s k k 3 - 3 s 2 k 2 e - s k - 6 k e - s k - 6 e - s k + 6

Aplicando o limite, chegaremos a:

∫ 0 ∞ 2 t 3 e - s t d t = 2 s 4 6 = 12 s 4

3) ∫ 0 ∞ 5 e - s t d t = 5 ∫ 0 ∞ e - s t d t = 5 - e - s t s 0 ∞ = 5 0 + 1 s = 5 s

Agora que já calculamos a transformada de Laplace de cada termo, podemos substituir na expressão.

L 3 e 5 t + 2 t 3 + 5 = 3 s - 5 + 12 s 4 + 5 s

Resposta

L 3 e 5 t + 2 t 3 + 5 = 3 s - 5 + 12 s 4 + 5 s

Exercícios de Livros Relacionados

Em cada um dos problemas de 21 a 24, encontre a transformada de Laplace da função dada.22. f ( t ) t , 0 ≤ t1 0 ,1 ≤ t∞
Em cada um dos problemas de 25 a 28, determine se a integral dada converge ou diverge.25. ∫ 0 ∞ t 2 + 1 - 1d t
Em cada um dos problemas de 1 a 4 , esboce o gráfico da função dada. Em cada caso, determine se f é continua, seccionalmente contínua, ou nenhuma das duas no intervalo 0 ≤ t ≤ 3 .2. f t = t 2 , 0 ≤ t
Em cada um dos problemas de 25 a 28, determine se a integral dada converge ou diverge.28. ∫ 0 ∞ e - t c o s td t
Em cada um dos problemas de 21 a 24, encontre a transformada de Laplace da função dada.21. f ( t ) 1 , 0 ≤ tπ 0 ,π ≤ t∞