Exercícios Resolvidos de Cálculo de Transformada de Laplace

Ver Teoria

Enunciado

Escreva o problema de Dirichlet para a equação de Laplace satisfeito pela função u x , y = - 1 + x y no quadrado unitário 0,1 2 .

Passo 1

Faaaaaala galera do meu Brasil varonil, tudo certinho com vocês?

Nessa questão temos o famoso problema de Dirichlet no retângulo. Aqui é um pouco diferente, pois o enunciado não nos pede pra encontrar a solução, na realidade já é falado que a função:

u x , y =   - 1 + x y

é solução do problema de Dirichlet.

O que precisamos fazer é montar o problema de Dirichlet cuja solução é u ( x , y ) . Sacaram?!

Para fazer isso precisamos dar uma revisada do caso geral do problema de Dirichlet no Retângulo:

Δ u = 0 ,     ∀   x , y ∈ a , b 2 u x , 0 = f 0 x ,     u x , b = f 1 ( x ) u 0 , y = g 0 y ,     u a , y = g 1 ( y )

Massa, sabendo disso basta nós descobrir quais funções nas condições de contorno nos dará u x , y =   - 1 + x y como solução do problema.

Passo 2

Bom, primeiramente, Δ u se refere a equação de Laplace:

Δ u =   ∑ j = 1 n ∂ 2 u ∂ x j 2 = 0 ,     u = u ( x 1 , x 2 , … ,   x n )

A nossa função solução:

u x , y =   - 1 + x y

Já satisfaz essa equação (todo polinômio de primeira ordem satisfaz a equação de Laplace).

Vamos analisar então as outras condições dadas no problema geral.

Aqui temos que o retângulo na realidade é um quadrado unitário, ou seja:

a = b = 1

Assim, temos que:

f 0 x = u x , 0

Mas, como já sabemos que u x , y =   - 1 + x y é a solução, podemos calcular f 0 ( x ) diretamente:

f 0 x =   - 1 + x ⋅ 0 = - 1

∴ f 0 x = - 1

Continuando, temos que:

f 1 x = u x , 1

Logo:

f 1 x =   - 1 + x ⋅ 1

∴ f 1 x =   - 1 + x

Indo agora para a terceira linha do nosso problema geral, temos que:

g 0 y =   u 0 , y

∴ g 0 y =   - 1

E, por fim:

g 1 y = u 1 , y

=   - 1 + 1 ⋅ y

∴ g 1 y =   - 1 + y

Muito bom!

Passo 3

Juntando todas essas informações, podemos escrever o problema de Dirichlet em que u x , y =   - 1 + x y é solução, como:

Δ u = 0 ,     ∀   x , y ∈ 0 , 1 2 u x , 0 = - 1 ,     u x , b = - 1 + x u 0 , y = - 1 ,     u a , y = - 1 + y

E é isso galera! Essa é a nossa resposta!

Muito obrigado pela atenção de vocês e até a próxima 😉

Resposta

Δ u = 0 ,     ∀   x , y ∈ 0,1 2 u x , 0 = - 1 ,     u x , b = - 1 + x u 0 , y = - 1 ,     u a , y = - 1 + y

Exercícios de Livros Relacionados

Em cada um dos problemas de 21 a 24, encontre a transformada de Laplace da função dada.22. f ( t ) t , 0 ≤ t1 0 ,1 ≤ t∞
Em cada um dos problemas de 25 a 28, determine se a integral dada converge ou diverge.25. ∫ 0 ∞ t 2 + 1 - 1d t
Em cada um dos problemas de 1 a 4 , esboce o gráfico da função dada. Em cada caso, determine se f é continua, seccionalmente contínua, ou nenhuma das duas no intervalo 0 ≤ t ≤ 3 .2. f t = t 2 , 0 ≤ t
Em cada um dos problemas de 25 a 28, determine se a integral dada converge ou diverge.28. ∫ 0 ∞ e - t c o s td t
Em cada um dos problemas de 21 a 24, encontre a transformada de Laplace da função dada.21. f ( t ) 1 , 0 ≤ tπ 0 ,π ≤ t∞