Exercícios Resolvidos de Cálculo de Transformada de Laplace

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Enunciado

Verifique que todas as funções u que sejam polinômios de x e y de primeira ordem satisfazem a equação de Laplace. (ou seja, são funções harmônicas).

Passo 1

Faaaala pessoal, tudo beleza com vocês?

Nessa questão precisamos mostrar que se temos uma função u de duas variáveis:

u ( x , y )

tal que u é um polinômio em x e em y de primeira ordem, ou seja:

u x , y = c 1 x + c 2 y

satisfaz a equação de Laplace.

Mas, pera um pouco, tá todo mundo lembrado do que é a equação de Laplace? Vamo dar uma revisada!

A equação de Laplace diz que:

∑ j = 1 n ∂ 2 u ∂ x j 2 = 0 ,   u = u ( x 1 , x 2 , … ,   x n )

Se uma função satisfaz a equação de Laplace e é contínua em uma região Ω , ela é dita contínua.

Então beleza, vamos pegar a u ( x , y ) dada no enunciado e verificar se ela obedece a equação de Laplace.

Passo 2

Bom, como temos aqui uma função de duas variáveis, a equação de Laplace será dada por:

∂ 2 u ∂ x 2 + ∂ 2 u ∂ y 2 = 0

Precisamos que a nossa função:

u x , y = c 1 x + c 2 y

(onde c 1 e c 2 são constantes), satisfaça essa equação.

Vamos começar calculando a derivada de u com relação a x :

∂ u ∂ x = c 1 ⋅ 1 ⋅ x 1 - 1 = c 1

Calculando a segunda derivada:

∂ 2 u ∂ x 2 = 0

Pois a derivada de uma constante é sempre nula.

Calculando agora a derivada com relação a y , vamos ter:

∂ u ∂ y = c 2 ⋅ 1 ⋅ y 1 - 1 = c 2

Agora a segunda derivada:

∂ 2 u ∂ y 2 = 0

Olha que massa! Ambas derivadas deram zero.

Assim, quando fazemos:

∂ 2 u ∂ x 2 + ∂ 2 u ∂ y 2

Vamos ter:

∂ 2 u ∂ x 2 + ∂ 2 u ∂ y 2 = 0 + 0 = 0

Logo, a função:

u x , y = c 1 x + c 2 y

De fato, satisfaz a equação de Laplace!

E aí gente, curtiram a solução?

Responde Aí!

Resposta

Resposta no texto.

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Em cada um dos problemas de 21 a 24, encontre a transformada de Laplace da função dada.21. f ( t ) 1 , 0 ≤ tπ 0 ,π ≤ t∞