Exercícios Resolvidos de Cálculo de Transformada de Laplace

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Enunciado

Sabendo que a transformada de Laplace de uma função F ( t ) ( t > 0 ) denotada aqui por   L { F ( t ) } é definida por

L F t =   f s = ∫ 0 ∞ e - s t F ( t ) d t

determine a transformada de Laplace da função elementar F ( t ) = e a t .

Passo 1

Fala aí!! Essa questão quer que a gente calcule a derivada de Lapalace para a F ( t ) = e a t . Vamos montar a continha então.

L F t = ∫ 0 ∞ e - s t F ( t ) d t

L F t = ∫ 0 ∞ e - s t e a t d t = ∫ 0 ∞ e a - s t d t

Como é uma integral imprópria, podemos chamar o limite superior de k e teremos:

L F t = lim k → ∞ ⁡ ∫ 0 k e a - s t d t = lim k → ∞ ⁡ e a - s t a - s 0 k =   lim k → ∞ ⁡ e a - s k a - s - 1 a - s

Aplicand o limite, temos dois caos:

Caso 1: s < a

lim k → ∞ ⁡ e a - s k a - s - 1 a - s = ∞

Caso 2: s > a

lim k → ∞ ⁡ e a - s k a - s - 1 a - s = 0 - 1 a - s = 1 s - a

Então, ficamos com:

L F t = 1 s - a                                   s > a

Resposta

L F t = 1 s - a                                   s > a

Exercícios de Livros Relacionados

Em cada um dos problemas de 21 a 24, encontre a transformada de Laplace da função dada.22. f ( t ) t , 0 ≤ t1 0 ,1 ≤ t∞
Em cada um dos problemas de 25 a 28, determine se a integral dada converge ou diverge.25. ∫ 0 ∞ t 2 + 1 - 1d t
Em cada um dos problemas de 1 a 4 , esboce o gráfico da função dada. Em cada caso, determine se f é continua, seccionalmente contínua, ou nenhuma das duas no intervalo 0 ≤ t ≤ 3 .2. f t = t 2 , 0 ≤ t
Em cada um dos problemas de 25 a 28, determine se a integral dada converge ou diverge.28. ∫ 0 ∞ e - t c o s td t
Em cada um dos problemas de 21 a 24, encontre a transformada de Laplace da função dada.21. f ( t ) 1 , 0 ≤ tπ 0 ,π ≤ t∞