Exercícios Resolvidos de Cálculo de Transformada de Laplace

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Enunciado

Determine a solução do problema de valor inicial utilizando a transformada de Laplace.

a )   y ' ' - y ' - 6 y = 0 ,   y 0 = 11 ,   y ' 0 = 2 8

Passo 1

Faaaala galera, tudo bem com vocês?

Nessa questão temos uma EDO no famoso problema de valor inicial (PVI):

y ' ' - y ' - 6 y = 0 y 0 = 11 y ' 0 = 28

Para resolver esse PVI devemos usar a transformada de Laplace. Vocês lembram como podemos fazer isso?

Então gente, a ideia é seguir algumas etapas bem tranquilas, tipo uma receita de bolo. Se liga só:

1 ) Aplicar Laplace à EDO;

2 ) Isolar L { y } , encontrando uma expressão para a transformada de y (não se esquecer de substituir os valores iniciais que o problema deu);

3 ) Decompor a expressão de L { y } em frações parciais;

4 )   Reconhecer funções por suas transformadas, para identificar y a partir da expressão encontrada na etapa anterior.

Perfeito galera! Agora que já vimos o bizu é só colocar a mão na massa!

Vem comigo 😊

Passo 2

Bom, a primeira etapa é aplicar a transformada de Laplace à nossa EDO.

L y ' ' - y ' - 6 y = L { 0 }

Pela linearidade da transformada de Laplace, podemos separar essa subtração no lado esquerdo:

L y ' ' - L y ' - 6 L y = 0

Massa! Já substituímos L 0 = 0 . Agora, vamos lembrar a expressão da transformada de Laplace para uma derivada de ordem n :

L y n = s n L y - s n - 1 y 0 - s n - 2 y ' 0 - … - s 1 ⋅ y n - 2 ( 0 ) - y n - 1 ( 0 )

Show! Vamos então aplicar essa fórmula em L { y ' ' } e em L { y ' } . Temos:

L y ' ' = s 2 L y - s 1 ⋅ y 0 - y ' ( 0 )

Substituindo os valores iniciais:

L y ' ' = s 2 L y - 11 s - 28

Boa! Vamos agora para L { y ' } :

L y ' = s ⋅ L y - y ( 0 )

= s ⋅ L y - 11

Substituindo esses dois resultados na nossa EDO:

s 2 L y - 11 s - 28 - s ⋅ L y - 11 - 6 ⋅ L y = 0

Muito bom! Terminamos a primeira etapa.

Passo 3

Vamos agora para a segunda parte:

2 ) Isolar L { y } , encontrando uma expressão para a transformada de y (não se esqueçer de substituir os valores iniciais que o problema deu);

Vamos trabalhar com a nossa expressão e isolar L { y } :

s 2 L y - 11 s - 28 - s ⋅ L y - 11 - 6 ⋅ L y = 0

L y s 2 - s - 6 - 11 s - 28 + 11 = 0

∴ L y = 11 s + 17 s 2 - s - 6

Excelente!

Passo 4

Estamos indoo...vai dar certo 😊

3 ) Decompor a expressão de L { y } em frações parciais;

No passo anterior encontramos:

L y = 11 s + 17 s 2 - s - 6

Para separar em frações parciais, devemos primeiro descobrir as raízes do denominador.

s 2 - s - 6 = 0

Por inspeção, temos s =   - 2 e s = 3 . Daí, pra separar por frações parciais podemos fazer:

11 s + 17 s 2 - s - 6 = a s + 2 + b s - 3

Daí manipulando o lado direito da nossa expressão, temos:

a s - 3 + b s + 2 s + 2 s - 3 = s a + b + - 3 a + 2 b s + 2 s - 3

Daí, como:

11 s + 17 s 2 - s - 6 = s a + b + - 3 a + 2 b s + 2 s - 3

Podemos igualar os polinômios do numerador:

11 = a + b 17 = - 3 a + 2 b

Portanto:

50 = 5 b

∴ b = 10

Logo:

a = 1

Ou seja, a separação em frações parciais nos dá:

L y = 11 s + 17 s 2 - s - 6 = 1 s + 2 + 10 s - 3

É isso galera! Tudo tranquilo até aqui?

Passo 5

Agora a nossa última etapa é reconhecer qual a função y cuja transformada de Laplace é o que encontramos na expressão anterior. Temos:

L y = 1 s + 2 + 10 ⋅ 1 s - 3

Qual a função cuja transformada nos dá algo parecido com isso?

L e a t = 1 s - a

Olha aí, que parecido! Na primeira fração parcial temos a = 2 , ou seja:

L e - 2 t = 1 s + 2

E, na segunda fração parcial, quando a = 3 temos:

L e 3 t = 1 s - 3

Portanto, temos:

L y = L e - 2 t + 10 ⋅ L { e 3 t }

Novamente, pela linearidade, juntando tudo temos:

L y = L { e - 2 t + 10 e 3 t }

Ou sejaaa:

y = e - 2 t + 10 e 3 t

Uhuuul! Conseguimos pessoal!

E aí, curtiram a solução? Responde Aí!

Resposta

y = e - 2 t + 10 e 3 t

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