Exercícios Resolvidos de Cálculo de Transformada de Laplace

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Enunciado

Nos problemas de ( a ) até ( i ) , use a definição de transformada de Laplace para calcular L f t

c )   f t = sin ⁡ t ,   0 ≤ t < π 0 ,   t ≥ π

Passo 1

Oi pessoal, tudo bem por aí? Essa questão nos dá essa função aqui

f t = sin ⁡ t ,   0 ≤ t < π 0 ,   t ≥ π

L f t . Mas você lembra da definição da transformada?

A transformada de Laplace é

L f t = F s = ∫ 0 ∞ f t e - s t d t

Então a ideia é aplicar essa definição na função dada, calcular a integral em t e aplicar nos limites de integração! O resultado será uma função em s ! Não esqueça disso!

Bora lá!

Passo 2

Nossa função é definida por partes, então vamos separar nossa integral conforme o domínio das partes da função

f t = sin ⁡ t ,   0 ≤ t < π 0 ,   t ≥ π

Aí nossa integral fica assim

∫ 0 ∞ f t e - s t d t = ∫ 0 π sin ⁡ t e - s t d t + ∫ π ∞ 0 e - s t d t

= ∫ 0 π sin ⁡ t e - s t d t

Nossa missão agora é resolver essa integral!

Passo 3

Integrando em t temos

∫ 0 π sin ⁡ t e - s t d t

Temos um produto de um seno por uma exponencial, então vamos usar a integração por partes:

u = sin ⁡ t

d u = cos ⁡ t d t

d v = e - s t d t

v = - 1 s e - s t

E agora aplicando a fórmula

∫ u   d v = u v - ∫ v   d u

∫ 0 π sin ⁡ t e - s t d t = sin ⁡ t . - 1 s e - s t 0 π - ∫ 0 π cos ⁡ t . - 1 s e - s t d t

= + 1 s ∫ 0 π cos ⁡ t e - s t d t

ué! Temos outra integral?

Agora precisamos calcular essa segunda integral! Ela é cíclica (por ser o produto de um seno/cosseno por exponencial), então estamos no caminho certo! Aplicando por partes novamente

u = cos ⁡ t

d u = - sin ⁡ t d t

d v = 1 s e - s t d t

v = - 1 s 2 e - s t

Aí temos

= - 1 s 2 cos ⁡ t . e - s t 0 π - ∫ 0 π - 1 s 2 e - s t . - sin ⁡ t d t

∫ 0 π sin ⁡ t e - s t d t = - 1 s 2 cos ⁡ π e - s π + 1 s 2 cos ⁡ 0 - 1 s 2 ∫ 0 π sin ⁡ t e - s t d t ⏝ i n t e g r a l   o r i g i n a l

Vamos agrupar as duas integrais iguais e temos nosso resultado!

1 + 1 s 2 ∫ 0 π sin ⁡ t e - s t d t = 1 + e - s π s 2

E por fim isolar a integral

s 2 + 1 s 2 ∫ 0 π sin ⁡ t e - s t d t = 1 + e - s π s 2

∫ 0 π sin ⁡ t e - s t d t = 1 + e - s π s 2 + 1

E é isso! Até a próxima!

Resposta

1 + e - s π s 2 + 1

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Em cada um dos problemas de 21 a 24, encontre a transformada de Laplace da função dada.22. f ( t ) t , 0 ≤ t1 0 ,1 ≤ t∞
Em cada um dos problemas de 25 a 28, determine se a integral dada converge ou diverge.25. ∫ 0 ∞ t 2 + 1 - 1d t
Em cada um dos problemas de 1 a 4 , esboce o gráfico da função dada. Em cada caso, determine se f é continua, seccionalmente contínua, ou nenhuma das duas no intervalo 0 ≤ t ≤ 3 .2. f t = t 2 , 0 ≤ t
Em cada um dos problemas de 25 a 28, determine se a integral dada converge ou diverge.28. ∫ 0 ∞ e - t c o s td t
Em cada um dos problemas de 21 a 24, encontre a transformada de Laplace da função dada.21. f ( t ) 1 , 0 ≤ tπ 0 ,π ≤ t∞