Exercícios Resolvidos de Cálculo de Transformada de Laplace

Ver Teoria

Enunciado

Determine a solução do problema de valor inicial utilizando a transformada de Laplace.

c )   y ' ' + 7 y ' + 12 y = 21 e 3 t ,     y 0 = 7 2 ,   y ' 0 = - 10  

Passo 1

Ooi pessoal, como estão as coisas por aí?

Nessa questão temos uma EDO no famoso problema de valor inicial (PVI):

y ' ' + 7 y ' + 12 y = 21 e 3 t y 0 = 7 2 y ' 0 = - 10

Para resolver esse PVI devemos usar a transformada de Laplace. Vocês lembram como podemos fazer isso?

Então gente, a ideia é seguir algumas etapas bem tranquilas, tipo uma receita de bolo. Se liga só:

1 ) Aplicar Laplace à EDO;

2 ) Isolar L { y } , encontrando uma expressão para a transformada de y (não se esquecer de substituir os valores iniciais que o problema deu);

3 ) Decompor a expressão de L { y } em frações parciais;

4 )   Reconhecer funções por suas transformadas, para identificar y a partir da expressão encontrada na etapa anterior.

Perfeito galera! Agora que já vimos o bizu é só colocar a mão na massa!

Vem comigo 😊

Passo 2

Bom, a primeira etapa é aplicar a transformada de Laplace à nossa EDO.

L y ' ' + 7 y ' + 12 y = L { 21 e 3 t }

Pela linearidade da transformada de Laplace, podemos separar essa subtração no lado esquerdo:

L y ' ' - 7 L y ' + 12 L y = L { 21 e 3 t }

Massa!

Agora, vamos lembrar a expressão da transformada de Laplace para uma derivada de ordem n :

L y n = s n L y - s n - 1 y 0 - s n - 2 y ' 0 - … - s 1 ⋅ y n - 2 ( 0 ) - y n - 1 ( 0 )

Show! Vamos então aplicar essa fórmula em L { y ' ' } e em L { y ' } . Temos:

L y ' ' = s 2 L y - s 1 ⋅ y 0 - y ' ( 0 )

Substituindo os valores iniciais:

L y ' ' = s 2 L y - 7 2 s - ( - 10 )

Boa! Vamos agora para L { y ' } :

L y ' = s ⋅ L y - y ( 0 )

= s ⋅ L y - 7 2

Substituindo esses dois resultados na nossa EDO:

s 2 L y - 7 2 s + 10 ) - 7 s ⋅ L y - 7 2 + 12 ⋅ L y = L { 21 e 3 t }

Precisamos calcular a transformada da função do lado direito da igualdade. Lembrando que:

L e a t = 1 s - a

Logo:

L 21 e 3 t = 21 ⋅ 1 s - 3

Substituindo na EDO, ficamos com:

s 2 L y - 7 2 s + 10 ) - 7 s ⋅ L y - 7 2 + 12 ⋅ L y = 21 s - 3

Muito bom! Terminamos a primeira etapa.

Passo 3

Vamos agora para a segunda parte:

2 ) Isolar L { y } , encontrando uma expressão para a transformada de y (não se esqueçer de substituir os valores iniciais que o problema deu);

Vamos trabalhar com a nossa expressão e isolar L { y } :

s 2 L y - 7 2 s + 10 ) - 7 s ⋅ L y - 7 2 + 12 ⋅ L y = 21 s - 3

L y s 2 - 7 s + 12 = 7 2 s - 10 - 49 2 + 21 s - 3

∴ L y = 1 2 ⋅ 7 s s - 3 - 29 s - 3 + 42 ( s 2 - 7 s + 12 ) ( s - 3 )

⇒ L y = 1 2 ⋅ 7 s 2 - 50 s + 129 s 2 - 7 s + 12 s - 3

Muito bom!

Passo 4

3 ) Decompor a expressão de L { y } em frações parciais;

No passo anterior encontramos:

L y = 1 2 ⋅ 7 s 2 - 50 s + 129 s 2 - 7 s + 12 s - 3

Para separar em frações parciais, devemos primeiro descobrir as raízes do denominador.

s 2 - 7 s + 12 = 0

Por inspeção, temos s = 4 e s = 3 . Daí, temos:

7 s 2 - 50 s + 129 s 2 - 7 s + 12 s - 3 = 7 s 2 - 50 s + 129 s - 3 2 ( s - 4 )

Como no denominador temos uma raiz múltipla e outra linear, a separação em frações parciais fica:

7 s 2 - 50 s + 129 s - 3 2 ( s - 4 ) = a s - 3 + b s - 3 2 + c s - 4

Daí manipulando o lado direito da nossa expressão, temos:

a s - 3 s - 4 + b s - 4 + c s - 3 2 s - 3 2 s - 4

= a s 2 - 7 a s + 12 a + b s - 4 b + c s 2 - 6 c s + 9 c s - 3 2 s - 4

Daí, como:

7 s 2 - 50 s + 129 s - 3 2 ( s - 4 ) = a s 2 - 7 a s + 12 a + b s - 4 b + c s 2 - 6 c s + 9 c s - 3 2 s - 4

Podemos igualar os polinômios do numerador:

7 = a + c - 50 = - 7 a + b - 6 c 129 = 12 a - 4 b + 9 c

Substituindo a primeira na segunda:

- 50 =   - 7 a + b - 6 ⋅ ( 7 - a )

- 50 = - 7 a + b - 42 + 6 a

- 8 = b - a

∴ b = a - 8

Substituindo esses resultados na terceira equação:

129 = 12 a - 4 ⋅ a - 8 + 9 ⋅ 7 - a

=   12 a - 4 a + 32 + 63 - 9 a

129 = - a + 95

∴ a = - 34

Muito bom! Logo, encontramos:

b = a - 8 = - 42

E:

c = 7 - a = 41

Portanto, a nossa separação em frações parciais fica:

7 s 2 - 50 s + 129 s - 3 2 ( s - 4 ) = - 34 s - 3 - 42 s - 3 2 + 41 s - 4

Assim, temos:

L y =   - 17 s - 3 - 21 s - 3 2 + 41 2 ⋅ 1 s - 4

Excelente! Deu um trabalhinho, mas saiu 😊

Passo 5

Agora vamos para a última etapa:

4 )   Reconhecer funções por suas transformadas, para identificar y a partir da expressão encontrada na etapa anterior.

Bom, chegamos no passo anterior que:

L y =   - 17 s - 3 - 21 s - 3 2 + 41 2 ⋅ 1 s - 4

Das transformações conhecidas, sabemos que:

L e a t = 1 s - a

Assim, já temos que:

L e 3 t = 1 s - 3

E:

L e 4 t = 1 s - 4

Mas, e aquele termo com s - 3 2 no denominador. Qual a função cuja transformação dá aquilo?

Então, uma bem importante da gente ter na memória é:

L t ⋅ e - a t = 1 s + a 2

Assim, para o termo que estamos analisando, temos a = - 3 . Logo:

L t ⋅ e 3 t = 1 s - 3 2

Perfeito! Juntando todas essas informações, e pela linearidade da transformação de Laplace, vamos ter:

L y = L - 17 ⋅ e 3 t - 21 ⋅ t e 3 t + 41 2 ⋅ e 4 t

Portanto:

y =   - 17 ⋅ e 3 t - 21 ⋅ t e 3 t + 41 2 ⋅ e 4 t

Uhuuuuul! Conseguimos gente! Vocês entenderam direitinho?

Responde Aí!

Resposta

y =   - 17 ⋅ e 3 t - 21 ⋅ t e 3 t + 41 2 ⋅ e 4 t

Exercícios de Livros Relacionados

Em cada um dos problemas de 21 a 24, encontre a transformada de Laplace da função dada.22. f ( t ) t , 0 ≤ t1 0 ,1 ≤ t∞
Em cada um dos problemas de 25 a 28, determine se a integral dada converge ou diverge.25. ∫ 0 ∞ t 2 + 1 - 1d t
Em cada um dos problemas de 1 a 4 , esboce o gráfico da função dada. Em cada caso, determine se f é continua, seccionalmente contínua, ou nenhuma das duas no intervalo 0 ≤ t ≤ 3 .2. f t = t 2 , 0 ≤ t
Em cada um dos problemas de 25 a 28, determine se a integral dada converge ou diverge.28. ∫ 0 ∞ e - t c o s td t
Em cada um dos problemas de 21 a 24, encontre a transformada de Laplace da função dada.21. f ( t ) 1 , 0 ≤ tπ 0 ,π ≤ t∞