Exercícios Resolvidos de Cálculo de Transformada de Laplace

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Enunciado

Encontre a transformada de Laplace de

Passo 1

Oiie, tudo certinho?

O enunciado nos dá a seguinte função

e pede para calcularmos a transformada de Laplace desta função! Esta é uma função com diferentes formatos para intervalos específicos. Funções desta forma podem ser reescritas utilizando a função de Heaviside definida como

e, então vamos tentar reescrever a nossa função, daí aplicar a transformada sobre ela! Vem comigo!

Passo 2

Note que a nossa função é definida de forma que f ( t ) = 2 se 0 ≤ t < 5 , ou seja, se tivermos que c = 0 , podemos escrever que

f I ( t ) = 2   [ u 0 ( t ) - u 5 ( t ) ]

o termo u 5 ( t ) está subtraindo para garantir que para t > 5 , o 2 seja cancelado e sobre apenas a função desejada no próximo intervalo! No entanto, isso sozinho não define a nossa função, precisamos dos outros intervalos! Agora, vamos analisar quando temos c = 5 , temos que

f I I ( t ) = ( t + 1 ) [ u 5 ( t ) - u 9 ( t ) ]

e, finalmente, temos que para quando c = 9

f I I I ( t ) = ( t + 8 ) u 9 ( t )

Maravilha! A nossa função é dada então por

f ( t ) = 2 [ u 0 ( t ) - u 5 ( t ) ] + ( t + 1 ) [ u 5 ( t ) - u 9 ( t ) ] + ( t + 8 ) u 9 ( t )

Maravilha! Mas porquê fazemos isso? Porquê a transformada de Laplace das funções heavisides são conhecidas! Vamos lá!

Passo 3

A transformada de uma função heaviside é tal que

ℒ { g ( t - c ) u c ( t ) } = e - c s G ( s ) ,           s > 0  

Para a nossa função, temos que

ℒ { f ( t ) } = ℒ { 2 [ u 0 ( t ) - u 5 ( t ) ] + ( t + 1 ) [ u 5 ( t ) - u 9 ( t ) ] + ( t + 8 ) u 9 ( t ) }    

como a transformada de Laplace é uma operação linear, podemos separar a expressão acima como

ℒ { f ( t ) } = 2 ℒ { [ u 0 ( t ) - u 5 ( t ) ] } + ℒ { ( t + 1 ) [ u 5 ( t ) - u 9 ( t ) ] } + ℒ { ( t + 8 ) u 9 ( t ) }    

Ainda podemos expandir ainda mais para obter

ℒ { f ( t ) } = 2 ℒ { u 0 ( t ) } - 2 ℒ { u 5 ( t ) } + ℒ { ( t + 1 ) u 5 ( t ) } - ℒ { ( t + 1 ) u 9 ( t ) } + ℒ { ( t + 8 ) u 9 ( t ) }

Por simplicidade, vamos expandir um pouco mais os termos! Para obter

ℒ { f ( t ) } = 2 ℒ { u 0 ( t ) } - 2 ℒ { u 5 ( t ) } + ℒ { t   u 5 ( t ) } + ℒ { u 5 ( t ) } - ℒ { t   u 9 ( t ) } - ℒ { u 9 ( t ) } + ℒ { t   u 9 ( t ) } + 8   ℒ { u 9 ( t ) }

como podemos cancelar o termo de ℒ { t   u 9 ( t ) } , obtendo

ℒ { f ( t ) } = 2 ℒ { u 0 ( t ) } - ℒ { u 5 ( t ) } + ℒ { t   u 5 ( t ) } + 7 ℒ { u 9 ( t ) }

Estamos bem perto de podermos aplicar a nossa transformada, mas note que é necessário que a função esteja no formato g ( t - c ) . Vamos trabalhar a partir disso! Saca só!

Passo 4

Por exemplo, no terceiro termo temos que

ℒ { t   u 5 ( t ) }

como c = 5 , precisamos que a função g ( t ) = t , seja escrita como g ( t - 5 ) = ( t - 5 ) . Para resolver isso, precisamos somar e subtrair 5 me nossa transformada, de forma que

ℒ { t   u 5 ( t ) } = ℒ { ( t - 5 + 5 ) u 5 ( t ) } = ℒ { [ ( t - 5 ) + 5 ] u 5 ( t ) }

expandindo, temos que

ℒ { [ ( t - 5 ) + 5 ] u 5 ( t ) } = ℒ { ( t - 5 ) u 5 ( t ) } + 5 ℒ { u 5 ( t ) }

Usando que

ℒ { t n } = n ! s n + 1

Temos então que a transformada de Laplace é simplesmente

ℒ { f ( t ) } = 2 [ e - 0 s s ] - e - 5 s s + e - 5 s s 2 + 7 e - 9 s s = 2 s - e - 5 s s + 7 e - 9 s s + e - 5 s s 2

E, aí está! A transformada de nossa função! A questão foi isso! Te vejo na próxima! Tchau Tchau!

Resposta

ℒ { f ( t ) } = 2 s - e - 5 s s + 7 e - 9 s s + e - 5 s s 2

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Em cada um dos problemas de 21 a 24, encontre a transformada de Laplace da função dada.22. f ( t ) t , 0 ≤ t1 0 ,1 ≤ t∞
Em cada um dos problemas de 25 a 28, determine se a integral dada converge ou diverge.25. ∫ 0 ∞ t 2 + 1 - 1d t
Em cada um dos problemas de 1 a 4 , esboce o gráfico da função dada. Em cada caso, determine se f é continua, seccionalmente contínua, ou nenhuma das duas no intervalo 0 ≤ t ≤ 3 .2. f t = t 2 , 0 ≤ t
Em cada um dos problemas de 25 a 28, determine se a integral dada converge ou diverge.28. ∫ 0 ∞ e - t c o s td t
Em cada um dos problemas de 21 a 24, encontre a transformada de Laplace da função dada.21. f ( t ) 1 , 0 ≤ tπ 0 ,π ≤ t∞