Exercícios Resolvidos de Cálculo de Transformada de Laplace

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Enunciado

Nos problemas de ( a ) até ( i ) , use a definição de transformada de Laplace para calcular L f t .

i )   f t = t c o s ( t )

Passo 1

E aí pessoinhas do nosso Brasil varonil, tudo na paz com vocês?

Nesse probleminha recebemos uma função f dada por:

f t = t c o s ( t )

E, precisamos calcular a transformada de Laplace de f usando a definição.

Vocês lembram a definição da transformada de Laplace?

Basicamente, ela diz que:

L f t =   ∫ 0 ∞ f t e - s t d t

Massa!

Então, no caso desse item, precisaremos resolver a integral:

L f t =   ∫ 0 ∞ t c o s ( t ) ⋅ e - s t d t

Perfeito! Vamo nessa pessoal!!

Passo 2

Bom, queremos resolver a seguinte integral imprópria:

∫ 0 ∞ t c o s ( t ) ⋅ e - s t d t

Pela própria definição de integral imprópria, podemos fazer:

∫ 0 ∞ t c o s ( t ) ⋅ e - s t d t = lim a → ∞ ⁡ ∫ 0 a t c o s ( t ) ⋅ e - s t d t

Massa! Então, vamos começar pela integral:

∫ 0 a t c o s ( t ) ⋅ e - s t d t

Pra calcular essa integral precisaremos usar o método de integração por partes. Segundo ele:

∫ u d v = u ⋅ v - ∫ v d u

Tomando:

u = t c o s t d v = e - s t

Daí:

d u = cos ⁡ t - t s e n ( t ) v = - e - s t s

Assim, teremos:

∫ 0 a t c o s ( t ) ⋅ e - s t d t = - e - s t s ⋅ t c o s ( t ) 0 a - ∫ 0 a - e - s t s ⋅ cos ⁡ t - t s e n t d t    

Puts, precisamos calcular mais uma integral usando o método de integração por partes:

∫ 0 a - e - s t s ⋅ cos ⁡ t - t s e n t d t

Fazendo:

u = cos ⁡ t - t s e n t d v = - e - s t s

Daí:

∫ 0 a - e - s t s ⋅ cos ⁡ t - t s e n t

= e - s t s 2 ⋅ cos ⁡ t - t s e n t 0 a - ∫ 0 a e - s t s 2 ⋅ - s e n t - s e n t - t c o s ( t ) d t

= e - s t s 2 ⋅ cos ⁡ t - t s e n t 0 a - ∫ 0 a e - s t s 2 ⋅ - 2 s e n t - t c o s ( t ) d t

Substituindo na equação principal, vamos ter:

- e - s t s ⋅ t c o s t 0 a - ∫ 0 a - e - s t s ⋅ cos ⁡ t - t s e n t d t

= - e - s t s ⋅ t c o s t 0 a - e - s t s 2 ⋅ cos ⁡ t - t s e n t 0 a +

+ ∫ 0 a e - s t s 2 ⋅ - 2 s e n t - t c o s ( t ) d t  

Daí:

=   - a ⋅ e - a t s ⋅ cos ⁡ a - e - s a s 2 ⋅ cos ⁡ a - a ⋅ s e n a - 1 s 2 - 1 s 2 ⋅ ∫ 0 a e - s t ⋅ 2 s e n t d t

- 1 s 2 ⋅ ∫ 0 a e - s t ⋅ t c o s ( t ) d t

Passando a última equação para o outro lado da igualdade, temos:

1 + 1 s 2 ⋅ ∫ 0 a t c o s t ⋅ e - s t d t

=     - a ⋅ e - a t s ⋅ cos ⁡ a - e - s a s 2 ⋅ cos ⁡ a - a ⋅ s e n a - 1 s 2 - 2 s 2 ⋅ ∫ 0 a e - s t ⋅ s e n t d t

Bom, ainda precisamos resolver a última integral ☹

Bora lá!

Passo 3

Precisamos resolver a integral:

∫ 0 a e - s t ⋅ s e n t d t

Pra resolver essa integral precisamos usar o método de integração por partes.

∫ u d v = u ⋅ v - ∫ v d u

Assim, fazendo:

u = s e n ( t ) d v = e - s t

Logo:

d u = cos ⁡ ( t ) v = - e - s t s

Substituindo na equação do método, temos:

∫ 0 a e - t s s e n t d t = s e n t ⋅ - e - t s s 0 a - ∫ 0 a - e - t s s ⋅ cos ⁡ t d t

=   - s e n a ⋅ e - a s s + 1 s ⋅ ∫ 0 a e - t s cos ⁡ t d t

Puts, precisamos resolver outra integral! Para calcular:

∫ 0 a e - t s cos ⁡ t d t

Podemos usar novamente o método de integração por partes. Vamos ter:

u = c o s ⁡ ( t ) d v = e - t s

Vamos ter:

d u = - s e n ( t ) v = - e - t s s

Daí, ficamos com:

∫ 0 a e - t s cos ⁡ t d t = - e - t s s ⋅ cos ⁡ t 0 a - �� 0 a - e - t s s ⋅ - s e n t d t

= 1 s - cos ⁡ a ⋅ e - a s s - 1 s ∫ 0 a e - t s s e n t d t

Substituindo esse resultado na primeira equação do método de integração por partes, temos:

∫ 0 a e - t s e n t ⋅ e - s t d t

= - s e n a ⋅ e - a s s + 1 s ⋅ 1 s - cos ⁡ a ⋅ e - a s s - 1 s ∫ 0 a e - t s s e n t d t  

Eita, apareceu a mesma integral nos dois lados da igualdade. Vamos então isolá-la:

1 + 1 s 2 ⋅ ∫ 0 a e - t s s e n t d t

= - s e n a ⋅ e - a s s + 1 s 2 - cos ⁡ a ⋅ e - a s s 2

Logo:

∫ 0 a e - t s s e n t d t = s 2 s 2 + 1 ⋅ - s e n a ⋅ e - a s s + 1 s 2 - cos ⁡ a ⋅ e - a s s 2

Show de bola!

Passo 4

No final do passo 2 , chegamos que:

1 + 1 s 2 ⋅ ∫ 0 a t c o s t ⋅ e - s t d t

=     - a ⋅ e - a t s ⋅ cos ⁡ a - e - s a s 2 ⋅ cos ⁡ a - a ⋅ s e n a - 1 s 2 - 2 s 2 ⋅ ∫ 0 a e - s t ⋅ s e n t d t

Daí, no passo anterior resolvemos a última integral e encontramos que:

∫ 0 a e - t s s e n t d t = s 2 s 2 + 1 ⋅ - s e n a ⋅ e - a s s + 1 s 2 - cos ⁡ a ⋅ e - a s s 2

Daí, substituindo esse resultado na equação principal:

1 + 1 s 2 ⋅ ∫ 0 a t c o s t ⋅ e - s t d t

= - a ⋅ e - a t s ⋅ cos ⁡ a - e - s a s 2 ⋅ cos ⁡ a - a ⋅ s e n a - 1 s 2 - 2 s 2 ⋅ s 2 s 2 + 1 ⋅ - s e n a ⋅ e - a s s + 1 s 2 - cos ⁡ a ⋅ e - a s s 2  

“Logo”, temos:

∫ 0 a t c o s t ⋅ e - s t d t =

s 2 s 2 + 1 ⋅ - a ⋅ e - a t s ⋅ cos ⁡ a - e - s a s 2 ⋅ cos ⁡ a - a ⋅ s e n a - 1 s 2 - 2 s 2 + 1 ⋅ ⋅ - s e n a ⋅ e - a s s + 1 s 2 - cos ⁡ a ⋅ e - a s s 2

Beleza! Deu um trabalho gigante mas encontramos o resultado da integral 😊

Passo 5

Por fim, vamos aplicar o limite para a → ∞ e analisar o resultado da nossa integral:

lim a → ∞ ⁡ ∫ 0 a t c o s t ⋅ e - s t d t =

= lim a → ∞ ⁡ s 2 s 2 + 1 ⋅ - a ⋅ e - a t s ⋅ cos ⁡ a - e - s a s 2 ⋅ cos ⁡ a - a ⋅ s e n a - 1 s 2 - 2 s 2 + 1 ⋅ ⋅ - s e n a ⋅ e - a s s + 1 s 2 - cos ⁡ a ⋅ e - a s s 2  

Colocoando os termos que não dependem de a para fora do limite, e também anulando todos os termos que possuem o fator e - a t , pois ele tende a zero, vamos ter:

lim a → ∞ ⁡ ∫ 0 a t c o s t ⋅ e - s t d t = s 2 s 2 + 1 ⋅ 1 s 2 - 2 s 2 + 1 s 2

= 1 s 2 + 1 ⋅ s 2 + 1 - 2 s 2 + 1

= s 2 - 1 s 2 + 1 2

Aeeeeee! Nossa, nunca vi tanta integral por partes assim né pessoal?! Mas saiuuu!

Muito bom, espero que vocês tenham entendido direitinho. Até a próxima 😊

Resposta

s 2 - 1 s 2 + 1 2

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Em cada um dos problemas de 1 a 4 , esboce o gráfico da função dada. Em cada caso, determine se f é continua, seccionalmente contínua, ou nenhuma das duas no intervalo 0 ≤ t ≤ 3 .2. f t = t 2 , 0 ≤ t
Em cada um dos problemas de 25 a 28, determine se a integral dada converge ou diverge.28. ∫ 0 ∞ e - t c o s td t
Em cada um dos problemas de 21 a 24, encontre a transformada de Laplace da função dada.21. f ( t ) 1 , 0 ≤ tπ 0 ,π ≤ t∞