Exercícios Resolvidos de Cálculo de Transformada de Laplace

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Enunciado

8. Calcule as transformadas de Laplace das funções dadas.

b) c o s h 2 t

Passo 1

Fala aí! Tudo certinho? Esta questão está um pouco complicada? Relaxa que vamos tentar te ajudar. 😎

Nessa questão, estamos interessados em obter a transformada de Laplace da função f t = c o s h 2 t .

Como podemos fazer isso? 🤔

Para obter a transformação de uma função f t para F s usamos a integral de transformação

F s = ∫ 0 ∞ f t e - s t d t

Pra essa transformada existir, deve atender a uma regra: a função f t deve ser continua no intervalo 0 , ∞

Bora ver como é no nosso caso? 😁

Passo 2

Analisando a função f t , vemos que ela é continua em todo o intervalo, então vamos aplicar a integral de transformação.

F s = ∫ 0 ∞ c o s h 2 t e - s t d t

Nesse caso podemos reescrever o cosh ⁡ t como e t + e - t 2

F s = ∫ 0 ∞ e t + e - t 2 2 e - s t d t

F s = 1 4 ∫ 0 ∞ e t + e - t 2 e - s t d t

F s = 1 4 ∫ 0 ∞ e 2 t + 1 + e - 2 t e - s t d t

Resultando em

F s = 1 4 ∫ 0 ∞ e 2 - s t + e - s t + e - 2 - s t d t

Calculando a integral de e 2 - s t + e - s t + e - 2 - s t , temos

∫ e 2 - s t + e - s t + e - 2 - s t d t = e 2 - s t 2 - s - e - s t s - e - 2 - s t 2 + s

Aplicando os limites de integração

∫ 0 ∞ e 2 - s t + e - s t + e - 2 - s t d t = e 2 - s ∞ 2 - s - e - s ∞ s - e - 2 - s ∞ 2 + s - e 2 - s 0 2 - s - e - s 0 s - e - 2 - s 0 2 + s

Sabemos que e - ∞ = 0 , portanto

∫ 0 ∞ e 2 - s t + e - s t + e - 2 - s t d t = 0 2 - s - 0 s - 0 2 + s - 1 2 - s - 1 s - 1 2 + s

∫ 0 ∞ e 2 - s t + e - s t + e - 2 - s t d t = 1 s - 2 + 1 s + 1 2 + s

Tranquilo até aqui? 😉

Passo 3

Calculando o MMC, temos

F s = 1 4 1 s - 2 + 1 s + 1 s + 2 = 1 4 · s s + 2 + s 2 - 4 + s s + 2 s s 2 - 4

F s = 1 4 · 3 s 2 - 4 s s 2 - 4

Fim! Iae, o que achou? Responde Aí! 😁

Resposta

F s = 1 4 · 3 s 2 - 4 s s 2 - 4

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Em cada um dos problemas de 21 a 24, encontre a transformada de Laplace da função dada.22. f ( t ) t , 0 ≤ t1 0 ,1 ≤ t∞
Em cada um dos problemas de 25 a 28, determine se a integral dada converge ou diverge.25. ∫ 0 ∞ t 2 + 1 - 1d t
Em cada um dos problemas de 1 a 4 , esboce o gráfico da função dada. Em cada caso, determine se f é continua, seccionalmente contínua, ou nenhuma das duas no intervalo 0 ≤ t ≤ 3 .2. f t = t 2 , 0 ≤ t
Em cada um dos problemas de 25 a 28, determine se a integral dada converge ou diverge.28. ∫ 0 ∞ e - t c o s td t
Em cada um dos problemas de 21 a 24, encontre a transformada de Laplace da função dada.21. f ( t ) 1 , 0 ≤ tπ 0 ,π ≤ t∞