Exercícios Resolvidos de Cálculo de Transformada de Laplace

Ver Teoria

Enunciado

10. Suponha que F s = L f t exista para s > a ≥ 0 .

(b) Mostre que se k é uma constante positiva, então

L - 1 F k s = 1 k f t k

Passo 1

Fala aí! Tudo certinho? Esta questão está um pouco complicada? Relaxa que vamos tentar te ajudar. 😎

Nessa questão queremos mostrar que dada uma função F k s em que k é uma constante positiva, temos que a sua transformada inversa é

L - 1 F k s = 1 k f t k

Tem ideia de como podemos fazer isso? 🤔

Pra responder esse problema, temos que lembrar da fórmula da transformada

F s = L f t = ∫ 0 ∞ f t e - s t d t

Sacou? Bora lá? 😉

Passo 2

Pra responder essa pergunta, vamos começar passando a transformada para o lado de t

L 1 k f t k = F k s

Substituindo na transformada...

L 1 k f t k = ∫ 0 ∞ 1 k f t k e - s t d t

L 1 k f t k = 1 k ∫ 0 ∞ f t k e - s t d t

Chamando t / k de u e consequentemente d t = k d u , temos

L 1 k f t k = 1 k ∫ 0 ∞ f u e - s k u k d u

L 1 k f t k = k k ∫ 0 ∞ f u e - k s u d u

Simplificando e voltando para t substituindo u por t

L 1 k f t k = ∫ 0 ∞ f t e - k s t d t

Assim, comparando com a fórmula da transformada, vemos que no lugar de s , está o k s , portanto é como se estivéssemos feito uma substituição de variável

L 1 k f t k = ∫ 0 ∞ f t e - k s t d t = F s k

L - 1 F k s = 1 k f t k

Fim! Iae, o que achou? Responde Aí! 😁

Resposta

L - 1 F k s = 1 k f t k

Exercícios de Livros Relacionados

Em cada um dos problemas de 21 a 24, encontre a transformada de Laplace da função dada.22. f ( t ) t , 0 ≤ t1 0 ,1 ≤ t∞
Em cada um dos problemas de 25 a 28, determine se a integral dada converge ou diverge.25. ∫ 0 ∞ t 2 + 1 - 1d t
Em cada um dos problemas de 1 a 4 , esboce o gráfico da função dada. Em cada caso, determine se f é continua, seccionalmente contínua, ou nenhuma das duas no intervalo 0 ≤ t ≤ 3 .2. f t = t 2 , 0 ≤ t
Em cada um dos problemas de 25 a 28, determine se a integral dada converge ou diverge.28. ∫ 0 ∞ e - t c o s td t
Em cada um dos problemas de 21 a 24, encontre a transformada de Laplace da função dada.21. f ( t ) 1 , 0 ≤ tπ 0 ,π ≤ t∞