Exercícios Resolvidos de Cálculo de Transformada de Laplace

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Enunciado

Determine a solução do problema de valor inicial utilizando a transformada de Laplace.

b )   y ' ' - 1 4 y = 0 ,   y 0 = 12 ,   y ' 0 = 0  

Passo 1

E aí gente, tudo na paz por aí?

Nessa questão temos uma EDO no famoso problema de valor inicial (PVI):

y ' ' - 1 4 y = 0 y 0 = 1 2 y ' 0 = 0

Para resolver esse PVI devemos usar a transformada de Laplace. Vocês lembram como podemos fazer isso?

Então gente, a ideia é seguir algumas etapas bem tranquilas, tipo uma receita de bolo. Se liga só:

1 ) Aplicar Laplace à EDO;

2 ) Isolar L { y } , encontrando uma expressão para a transformada de y (não se esquecer de substituir os valores iniciais que o problema deu);

3 ) Decompor a expressão de L { y } em frações parciais;

4 )   Reconhecer funções por suas transformadas, para identificar y a partir da expressão encontrada na etapa anterior.

Perfeito galera! Agora que já vimos o bizu é só colocar a mão na massa!

Vem comigo 😊

Passo 2

Bom, a primeira etapa é aplicar a transformada de Laplace à nossa EDO.

L y ' ' - 1 4 y = 0 = L { 0 }

Pela linearidade da transformada de Laplace, podemos separar essa subtração no lado esquerdo:

L y ' ' - 1 4 L y = 0

Massa! Já substituímos L 0 = 0 .

Agora, vamos lembrar a expressão da transformada de Laplace para uma derivada de ordem n :

L y n = s n L y - s n - 1 y 0 - s n - 2 y ' 0 - … - s 1 ⋅ y n - 2 ( 0 ) - y n - 1 ( 0 )

Show! Vamos então aplicar essa fórmula em L { y ' ' } . Temos:

L y ' ' = s 2 L y - s 1 ⋅ y 0 - y ' ( 0 )

Substituindo os valores iniciais:

L y ' ' = s 2 L y - 12 s

Substituindo esses dois resultados na nossa EDO:

s 2 L y - 12 s - 1 4 ⋅ L y = 0

Muito bom! Terminamos a primeira etapa.

Passo 3

Vamos agora para a segunda parte:

2 ) Isolar L { y } , encontrando uma expressão para a transformada de y (não se esqueçer de substituir os valores iniciais que o problema deu);

Vamos trabalhar com a nossa expressão e isolar L { y } :

s 2 L y - 12 s - 1 4 ⋅ L y = 0

L y s 2 - 1 4 = 12 s

∴ L y = 12 s s 2 - 1 4

Excelente!

Passo 4

Estamos indoo...vai dar certo 😊

3 ) Decompor a expressão de L { y } em frações parciais;

No passo anterior encontramos:

L y = 12 s s 2 - 1 4

Para separar em frações parciais, devemos primeiro descobrir as raízes do denominador.

s 2 - 1 4 = 0

s =   ± 1 4 = ± 1 2  

Daí, pra separar por frações parciais podemos fazer:

12 s s 2 - 1 4 = a s + 1 2 + b s - 1 2

Daí manipulando o lado direito da nossa expressão, temos:

a s - 1 / 2 + b s + 1 / 2 s + 1 2 s - 1 2 = s a + b + - a 2 + b 2 s + 1 2 s - 1 2

Daí, como:

12 s s 2 - 1 4 = s a + b + - a 2 + b 2 s + 1 2 s - 1 2

Podemos igualar os polinômios do numerador:

1 2 = a + b 0 = - a 2 + b 2

Portanto:

a = b

∴ a = b = 6

Logo:

a = 1

Ou seja, a separação em frações parciais nos dá:

L y = 12 s s 2 - 1 4 = 6 s + 1 2 + 6 s - 1 2

É isso galera! Tudo tranquilo até aqui?

Passo 5

Agora a nossa última etapa é reconhecer qual a função y cuja transformada de Laplace é o que encontramos na expressão anterior. Temos:

L y = 6 ⋅ 1 s + 1 2 + 6 ⋅ 1 s - 1 2

Qual a função cuja transformada nos dá algo parecido com isso?

L e a t = 1 s - a

Olha aí, que parecido! Na primeira fração parcial temos a = - 1 / 2 , ou seja:

L e - 1 2 t = 1 s + 1 2

E, na segunda fração parcial, quando a = 1 / 2 temos:

L e 1 2 t = 1 s - 1 2

Portanto, temos:

L y = 6 ⋅ L e - 1 2 t + 6 ⋅ L { e 1 2 t }

Novamente, pela linearidade, juntando tudo temos:

L y = L { 6 ⋅ e - 1 2 t + 6 ⋅ e 1 2 t }

Ou sejaaa:

y = 6 ⋅ e - 1 2 t + e 1 2 t

Prontinho!! Matamos mais uma questão.

Até a próxima pessoal 😊

Resposta

y = 6 ⋅ e - 1 2 t + e 1 2 t

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