Exercícios Resolvidos de Cálculo de Transformada de Laplace

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Enunciado

Considere f(t) definida para 0 ≤ t ≤ ∞ . A Transformada de Laplace de f ( t ) é dada pela fórmula F s = L f   t = ∫ 0 ∞ e - s t d t . Determine L { e 5 t } .

Passo 1

Opa, vamos lá. A questão quer que a gente calcule a transformada de Laplace de e 5 t . Podemos substituir na formulinha que a questão nos trouxe:

L e 5 t = ∫ 0 ∞ e 5 t   e - s t d t = ∫ 0 ∞ e 5 t - s t d t

Como essa é uma integral chamada de imprópria, no lugar do infinito no limite superior, podemos substituir por x e depois aplicamos o limite para x → ∞ da seguinte forma:

∫ 0 ∞ e 5 t - s t d t = lim x → ∞ ⁡ ∫ 0 x e 5 t - s t d t

Agora, vamos resolver essa integral e aplicar os limites inferior e superior.

lim x → ∞ ⁡ e 5 - s t 5 - s 0 x = l i m x → ∞ e 5 - s x 5 - s - 1 5 - s

Bom, chegamos em uma situação em que o limite pode assumir dois valores dependendo do valor de s . Vamos ver os casos:

Para s < 5 :

l i m x → ∞ e 5 - s x 5 - s - 1 5 - s = ∞

Para s > 5 :

l i m x → ∞ e 5 - s x 5 - s - 1 5 - s = 0 - 1 5 - s = 1 s - 5

L e 5 t = 1 s - 5         p a r a   s > 5

Resposta

L e 5 t = 1 s - 5         p a r a   s > 5

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Em cada um dos problemas de 21 a 24, encontre a transformada de Laplace da função dada.22. f ( t ) t , 0 ≤ t1 0 ,1 ≤ t∞
Em cada um dos problemas de 25 a 28, determine se a integral dada converge ou diverge.25. ∫ 0 ∞ t 2 + 1 - 1d t
Em cada um dos problemas de 1 a 4 , esboce o gráfico da função dada. Em cada caso, determine se f é continua, seccionalmente contínua, ou nenhuma das duas no intervalo 0 ≤ t ≤ 3 .2. f t = t 2 , 0 ≤ t
Em cada um dos problemas de 25 a 28, determine se a integral dada converge ou diverge.28. ∫ 0 ∞ e - t c o s td t
Em cada um dos problemas de 21 a 24, encontre a transformada de Laplace da função dada.21. f ( t ) 1 , 0 ≤ tπ 0 ,π ≤ t∞