Exercícios Resolvidos de Cálculo de Transformada de Laplace

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Enunciado

Sejam u 1 e u 2 funções harmônicas (i.e soluões da equação de Laplace).

b ) Se u é harmônica, prove que x u ( x , y ) é harmônica, se e somente se, u x , y = a y + b , para a e b constantes.

Passo 1

Oii gente, tudo bem?

Nessa questão recebemos a função:

f x , y = x u ( x , y )

onde u ( x , y ) é uma função harmônica. Ou seja, obedece a equação de Laplace:

∂ 2 u ∂ x 2 + ∂ 2 u ∂ y 2 = 0

Sabendo disso precisamos provar duas coisas:

- Se x u ( x , y ) é harmônica, então u x , y = a y + b .

- Se u x , y = a y + b , então x u ( x , y ) é harmônica.

Beleza?

Então, vamos usar a definição de função harmônica, bem como o fato de u ( x , y ) ser harmônica para provar essas afirmações.

Vamo nessa!

Passo 2

Vamos começar provando que:

- Se x u ( x , y ) é harmônica, então u x , y = a y + b .

Bom, para f x , y = x u ( x , y ) ser harmônica é necessário que obedeça a equação de Laplace, i.e:

∂ 2 f ∂ x 2 + ∂ 2 f ∂ y 2 = 0

Aqui estamos tomando como hipótese que f é harmônica, então a equação acima é verdadeira pela nossa hipótese.

Vamos calcular essas derivadas parciais, usando a regra do produto vem que:

∂ f ∂ x = u x , y + x ⋅ ∂ u ∂ x

Derivando mais uma vez:

∂ 2 f ∂ x 2 = ∂ u ∂ x + ∂ u ∂ x + x ⋅ ∂ 2 u ∂ x 2

Muito bom!

Calculando agora a derivada com relação a y , vem que:

��� f ∂ y = x ⋅ ∂ u ∂ y

Derivando mais uma vez:

∂ 2 f ∂ y 2 = x ⋅ ∂ 2 u ∂ y 2

Muito bom! Substituindo esses resultados na equação de Laplace:

∂ 2 f ∂ x 2 + ∂ 2 f ∂ y 2 = 2 ∂ u ∂ x + x ⋅ ∂ 2 u ∂ x 2 + x ⋅ ∂ 2 u ∂ y 2  

= 2 ⋅ ∂ u ∂ x + x ∂ 2 u ∂ x 2 + ∂ 2 u ∂ y 2

Mas, olha que interessante... como u é harmônica, vale que:

∂ 2 u ∂ x 2 + ∂ 2 u ∂ y 2 = 0

Assim:

∂ 2 f ∂ x 2 + ∂ 2 f ∂ y 2 = 2 ⋅ ∂ u ∂ x

Porém, como hipótese f é harmônica, então essa igualdade também vale 0 .

⇒ 2 ⋅ ∂ u ∂ x = 0  

∴ ∂ u ∂ x = 0

Se a derivada é nula, é porque a função é constante em relação a x . Assim:

u = h ( y )

Mas, u é harmônica. Como ela não depende de x , temos:

∂ 2 u ∂ x 2 = 0

Assim, para que a equação de Laplace seja obedecida, precisamos ter:

∂ 2 u ∂ y 2 = 0

Novamente, como a derivada é nula, a função primitiva deve ser uma constante. Então:

∂ u ∂ y = a

Integrando mais uma vez, temos:

u = a y + b

Que é exatamente o que queríamos provar 😊

Passo 3

Agora vamos buscar provar que:

- Se u x , y = a y + b , então x u ( x , y ) é harmônica.

A nossa hipótese é que:

u x , y = a y + b

Logo, vamos ter que:

f x , y = x u x , y

= a x y + b x

Precisamos provar que essa função é harmônica. Para fazer isso, basta verificarmos que ela obedece à equação de Laplace. Ou seja:

∂ 2 f ∂ x 2 + ∂ 2 f ∂ y 2 = 0

Vamos calcular essas derivadas parciais:

∂ f ∂ x = a y + b

Isso é uma constante em relação a x . Derivando mais uma vez:

∂ 2 f ∂ x 2 = 0

Calculando agora as derivadas com relação a y :

∂ f ∂ y = a x

Isso também é uma constante com relação a y , derivando mais uma vez:

∂ 2 f ∂ y 2 = 0

Portanto, de fato é verdade que:

∂ 2 f ∂ x 2 + ∂ 2 f ∂ y 2 = 0

E, concluímos que f é harmônica.

É isso pessoal, como provamos tanto a ida como a volta, o nosso “Se, e somente se” está provado!

Espero que vocês tenham curtido a solução e até a próxima 😊

Resposta

Resposta no texto.

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