Exercícios Resolvidos de Cálculo de Transformada de Laplace

Ver Teoria

Enunciado

Sejam u 1 e u 2 funções harmônicas (i.e soluões da equação de Laplace).

c ) Dê um exemplo de duas funções harmônicas cujo produto não seja uma função harmônica.

Passo 1

E aí gente, tudo certinho com vocês?

Nessa questão o enunciado nos pede para escolher duas funções, f 1 e f 2 que sejam harmônicas, isto é, que obedeçam a equação de Laplace:

∑ j = 1 n ∂ 2 u ∂ x j 2 = 0 ,     u = u ( x 1 , x 2 , … ,   x n )

Mas, cujo produto não resulte em uma função harmônica.

Uma ideia legal pra responder essa pergunta é pensar nas funções polinomiais.

Como na equação de Laplace estamos calculando apenas a segunda derivada, se tomarmos polinômios com grau maior ou igual a 2 em suas variáveis, a derivação não será suficiente pra anular esses termos.

Assim, vamos pensar em dois polinômios de grau 1 em duas variáveis, que com certeza já serão harmônicos. Mas que, quando multiplicados, resultam em um polinômio de grau 2 que não será harmônico.

Vem com a gente que vai ficar mais claro 😊

Passo 2

Podemos tomar por exemplo:

f 1 x , y = x + y

f 2 x , y = x

Assim, é bem claro que tanto f 1 como f 2 são harmônicos, pois:

∂ 2 f 1 ∂ x 2 = ∂ 2 f 1 ∂ y 2 = 0

Analogamente:

∂ 2 f 2 ∂ x 2 = ∂ 2 f 2 ∂ y 2 = 0

Massa! Vamos agora analisar se o seu produto também é harmônico.

f x , y = f 1 ⋅ f 2

= x + y ⋅ x

⇒ f x , y = x 2 + x y

Vamos então calcular as suas derivadas.

Com relação a x :

∂ f ∂ x = 2 x + y

Derivando novamente:

∂ f 2 ∂ x 2 = 2

Agora derivando com relação a y :

∂ f ∂ y = 1

Derivando mais uma vez:

∂ 2 f ∂ y 2 = 0

Assim, substituindo na equação de Laplace, ficamos com:

∂ f 2 ∂ x 2 + ∂ 2 f ∂ y 2 = 2 + 0

≠ 0

Portanto, a equação de Laplace não é satisfeita, e:

f x , y = x + y ⋅ x

Isto é, o produto de duas funções harmônicas, não é harmônica!

Prontinho pessoal, muito obrigado pela atenção de vocês e até a próxima 😊

Resposta

Resposta no texto.

Exercícios de Livros Relacionados

Em cada um dos problemas de 21 a 24, encontre a transformada de Laplace da função dada.22. f ( t ) t , 0 ≤ t1 0 ,1 ≤ t∞
Em cada um dos problemas de 25 a 28, determine se a integral dada converge ou diverge.25. ∫ 0 ∞ t 2 + 1 - 1d t
Em cada um dos problemas de 1 a 4 , esboce o gráfico da função dada. Em cada caso, determine se f é continua, seccionalmente contínua, ou nenhuma das duas no intervalo 0 ≤ t ≤ 3 .2. f t = t 2 , 0 ≤ t
Em cada um dos problemas de 25 a 28, determine se a integral dada converge ou diverge.28. ∫ 0 ∞ e - t c o s td t
Em cada um dos problemas de 21 a 24, encontre a transformada de Laplace da função dada.21. f ( t ) 1 , 0 ≤ tπ 0 ,π ≤ t∞