Exercícios Resolvidos de Cálculo de Transformada de Laplace

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Enunciado

Determine a solução do problema de valor inicial utilizando a transformada de Laplace.

f )   y ' ' ' - y ' = 1 ,   y 0 = 1 ,   y ' 0 = 0 ,   y ' ' 0 = 0

Passo 1

E aí gente, tudo certinho por aí?

Nessa questão temos uma EDO no famoso problema de valor inicial (PVI):

y ' ' ' - y ' = 1 y 0 = 1 y ' 0 = 0 y ' ' 0 = 0

Para resolver esse PVI devemos usar a transformada de Laplace. Vocês lembram como podemos fazer isso?

Então gente, a ideia é seguir algumas etapas bem tranquilas, tipo uma receita de bolo. Se liga só:

1 ) Aplicar Laplace à EDO;

2 ) Isolar L { y } , encontrando uma expressão para a transformada de y (não se esquecer de substituir os valores iniciais que o problema deu);

3 ) Decompor a expressão de L { y } em frações parciais;

4 )   Reconhecer funções por suas transformadas, para identificar y a partir da expressão encontrada na etapa anterior.

Perfeito galera! Agora que já vimos o bizu é só colocar a mão na massa!

Vem comigo 😊

Passo 2

Bom, a primeira etapa é aplicar a transformada de Laplace à nossa EDO.

L y ' ' ' - y ' = L { 1 }

Pela linearidade da transformada de Laplace, podemos separar essa subtração no lado esquerdo:

L y ' ' ' - L y ' = L { 1 }

Massa!

Agora, vamos lembrar a expressão da transformada de Laplace para uma derivada de ordem n :

L y n = s n L y - s n - 1 y 0 - s n - 2 y ' 0 - … - s 1 ⋅ y n - 2 ( 0 ) - y n - 1 ( 0 )

Show! Vamos então aplicar essa fórmula em L { y ' ' ' } e em L { y ' } . Temos:

L y ' ' ' = s 3 L y - s 2 ⋅ y 0 - s ⋅ y ' 0 - y ' ' ( 0 )

Substituindo os valores iniciais:

L y ' ' ' = s 3 L y - s 2

Já em L { y ' } :

L y ' = s ⋅ L y - y 0

Substituindo os valores iniciais:

L y ' = s ⋅ L y - 1

Boa!

Substituindo esses dois resultados na nossa EDO:

s 3 L y - s 2 ) - ( s ⋅ L y - 1 ) = L { 1 }

Precisamos calcular a transformada da função do lado direito da igualdade. Lembrando que:

L 1 = 1 s

Substituindo na EDO, ficamos com:

s 3 L y - s 2 ) - s ⋅ L y + 1 = 1 s

Prontinho!

Passo 3

Vamos para a próxima etapa!

2 ) Isolar L { y } , encontrando uma expressão para a transformada de y :

No passo anterior, encontramos:

s 3 L y - s 2 ) - s ⋅ L y + 1 = 1 s

Daí, isolando L y , vem:

L y s 3 - s = s 2 - 1 + 1 s

= s 3 - s + 1 s

Logo:

L y = s 3 - s + 1 s ⋅ s 3 - s

L { y } = 1 s + 1 s 2 ⋅ ( s 2 - 1 )

Muito bom!

Passo 4

3 ) Decompor a expressão de L { y } em frações parciais;

No passo anterior encontramos:

L { y } = 1 s + 1 s 2 �� ( s 2 - 1 )

O primeiro termo já está separado dos demais. Precisamos mexer apenas em:

1 s 2 ⋅ ( s 2 - 1 )

Podemos usar que:

1 s 2 - 1 - 1 s 2 = s 2 - s 2 + 1 s 2 ⋅ s 2 - 1

= 1 s 2 ⋅ s 2 - 1

Logo:

L y = 1 s + 1 s 2 - 1 - 1 s 2  

Passo 5

4 )   Reconhecer funções por suas transformadas, para identificar y a partir da expressão encontrada na etapa anterior.

Encontramos que:

L y = 1 s + 1 s 2 - 1 - 1 s 2

Agora precisamos consultar a nossa tabelinha de transformadas de Laplace pra descobrir quais as funções que geram cada uma dessas frações!

Uma transformada que precisamos ter sempre em mente é:

L t n = n ! s n + 1

Assim:

L 1 = 1 s L t = 1 / s 2

Massa! Dois termos já morreram 😊

Temos que descobrir qual função gera:

1 s 2 - 1

Aqui podemos usar um truque legal, na mesma pegada das frações parciais.

s 2 - 1 = ( s + 1 ) ( s - 1 )

(é o produto notável da diferença de quadrados).

Daí:

1 s 2 - 1 = 1 s + 1 s - 1

Mas:

1 s - 1 - 1 s + 1 = s + 1 - s + 1 s + 1 s - 1

= 2 s + 1 s - 1

Ou seja:

1 s 2 - 1 = 1 2 ⋅ 1 s - 1 - 1 s + 1

Excelente! Pois, descobrir a função cuja transformada nos dá cada uma dessas frações é bem mais simples. Pois:

L e a t = 1 s + a

Logo:

1 s - 1 = L { e - t } 1 s + 1 = L { e t }

Portanto:

L y = 1 s + 1 s 2 - 1 - 1 s 2

Vai ser igual a:

L 1 + 1 2 ⋅ e - t - e t - t

Logooo:

y t = 1 + 1 2 ⋅ e - t - e t - t  

Prontinho gente! Encontramos a solução da nossa EDO 😊

Curtiram? Responde AÍ!

Resposta

y t = 1 + 1 2 ⋅ e - t - e t - t  

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