Exercícios Resolvidos de Cálculo de Transformada de Laplace

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Enunciado

Nos problemas de ( a ) até ( i ) , use a definição de transformada de Laplace para calcular L f t .

h )   f t = e - t s e n ( t )

Passo 1

Olá gente bonita, tudo certinho por aí?

Nesse probleminha recebemos uma função f dada por:

f t = e - t s e n ( t )

E, precisamos calcular a transformada de Laplace de f usando a definição.

Vocês lembram a definição da transformada de Laplace?

Basicamente, ela diz que:

L f t =   ∫ 0 ∞ f t e - s t d t

Massa!

Então, no caso desse item, precisaremos resolver a integral:

L f t =   ∫ 0 ∞ e - t s e n ( t ) ⋅ e - s t d t

Perfeito! Vamo nessa pessoal!!

Passo 2

Bom, precisamos resolver a seguinte integral imprópria:

∫ 0 ∞ e - t s e n ( t ) ⋅ e - s t d t

Pela própria definição de integral imprópria, temos que isso equivale a calcular:

lim a → ∞ ⁡ ∫ 0 a e - t s e n t ⋅ e - s t d t

Excelente! Vamos buscar primeiro resolver a integral dentro do limite, e depois aplicamos ele na função.

∫ 0 a e - t s e n t ⋅ e - s t d t = ∫ 0 a e - t s + 1 s e n t d t

Pra resolver essa integral precisamos usar o método de integração por partes. Lembram dele? Bora dar uma revisada:

∫ u d v = u ⋅ v - ∫ v d u

Assim, fazendo:

u = s e n ( t ) d v = e - t s + 1

Logo:

d u = cos ⁡ ( t ) v = - e - t s + 1 s + 1

Substituindo na equação do método, temos:

∫ 0 a e - t s + 1 s e n t d t = s e n t ⋅ - e - t s + 1 s + 1 0 a - ∫ 0 a - e - t s + 1 s + 1 ⋅ cos ⁡ t d t

=   - s e n a ⋅ e - a s + 1 s + 1 + 1 s + 1 ⋅ ∫ 0 a e - t s + 1 cos ⁡ t d t

Puts, precisamos resolver outra integral! Para calcular:

∫ 0 a e - t s + 1 cos ⁡ t d t

Podemos usar novamente o método de integração por partes. Vamos ter:

u = c o s ⁡ ( t ) d v = e - t s + 1

Vamos ter:

d u = - s e n ( t ) v = - e - t s + 1 s + 1

Daí, ficamos com:

∫ 0 a e - t s + 1 cos ⁡ t d t = - e - t s + 1 s + 1 ⋅ cos ⁡ t 0 a - ∫ 0 a - e - t s + 1 s + 1 ⋅ - s e n t d t

= 1 s + 1 - cos ⁡ a ⋅ e - a s + 1 s + 1 - 1 s + 1 ∫ 0 a e - t s + 1 s e n t d t

Substituindo esse resultado na primeira equação do método de integração por partes, temos:

∫ 0 a e - t s e n t ⋅ e - s t d t

= - s e n a ⋅ e - a s + 1 s + 1 + 1 s + 1 ⋅ 1 s + 1 - cos ⁡ a ⋅ e - a s + 1 s + 1 - 1 s + 1 ∫ 0 a e - t s + 1 s e n t d t  

Eita, apareceu a mesma integral nos dois lados da igualdade. Vamos então isolá-la:

1 + 1 s + 1 2 ⋅ ∫ 0 a e - t s + 1 s e n t d t

= - s e n a ⋅ e - a s + 1 s + 1 + 1 s + 1 2 - cos ⁡ a ⋅ e - a s + 1 s + 1 2

Logo:

∫ 0 a e - t s + 1 s e n t d t = s + 1 2 s + 1 2 + 1 ⋅ - s e n a ⋅ e - a s + 1 s + 1 + 1 s + 1 2 - cos ⁡ a ⋅ e - a s + 1 s + 1 2

Perfeito!

Passo 3

Bom galera, agora que encontramos o valor da integral, podemos aplicar o limite:

lim a → ∞ ⁡ ∫ 0 a e - t s e n t ⋅ e - s t d t

=   lim a → ∞ ⁡ s + 1 2 s + 1 2 + 1 ⋅ - s e n a ⋅ e - a s + 1 s + 1 + 1 s + 1 2 - cos ⁡ a ⋅ e - a s + 1 s + 1 2

Colocando os termos que não dependem de a para fora do limite, vamos ter:

s + 1 2 s + 1 2 + 1 ⋅ lim a → ∞ ⁡ - s e n a ⋅ e - a s + 1 s + 1 + 1 s + 1 2 - cos ⁡ a ⋅ e - a s + 1 s + 1 2

Todos os termos que depende da exponencial de - a irão zerar quando a → ∞ . Assim, teremos que:

= s + 1 2 s + 1 2 + 1 ⋅ 1 s + 1 2

= 1 s 2 + 2 s + 2  

Excelente! Encontramos, portanto que:

L f t = F s = 1 s 2 + 2 s + 2

É isso aí galera! Espero que vocês tenham curtido a solução!

Até a próxima 😊

Resposta

1 s 2 + 2 s + 2

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Em cada um dos problemas de 21 a 24, encontre a transformada de Laplace da função dada.21. f ( t ) 1 , 0 ≤ tπ 0 ,π ≤ t∞