Exercícios Resolvidos de Cálculo de Transformada de Laplace

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Enunciado

Nos problemas de ( a ) até ( i ) , use a definição de transformada de Laplace para calcular L f t

b )   f t = t ,   0 ≤ t < 1 1 ,   t ≥ 1

Passo 1

Oi pessoal, tudo bem por aí? Essa questão nos dá essa função aqui

f t = t ,   0 ≤ t < 1 1 ,   t ≥ 1

L f t . Mas você lembra da definição da transformada?

A transformada de Laplace é

L f t . = F s = ∫ 0 ∞ f t e - s t d t

Então a ideia é aplicar essa definição na função dada, calcular a integral em t e aplicar nos limites de integração! O resultado será uma função em s ! Não esqueça disso!

Bora lá!

Passo 2

Nossa função é definida por partes, então vamos separar nossa integral conforme o domínio das partes da função

f t = t ,   0 ≤ t < 1 1 ,   t ≥ 1

Aí nossa integral fica assim

∫ 0 ∞ f t e - s t d t = ∫ 0 1 t e - s t d t ⏝ p o r   p a r t e s + ∫ 1 ∞ 1 e - s t d t ⏝ s u b   s i m p l e s

Nossa missão agora é resolver essas duas integrais!

Passo 3

Integrando em t temos

∫ 0 1 t e - s t d t + ∫ 1 ∞ 1 e - s t d t = t . - 1 s e - s t t = 0 1 - ∫ 0 1 - e - s d t + - 1 s e - s t t = 1 ∞

E agora resolvendo a última integral e aplicando os limites de integração temos

- e - s s + e - s t - s 0 1 + - 1 s e ∞ ⏝ → 0 + e - s s = 1 s 1 - e - s

E é isso! Até a próxima!

Resposta

1 s 1 - e - s

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Em cada um dos problemas de 21 a 24, encontre a transformada de Laplace da função dada.22. f ( t ) t , 0 ≤ t1 0 ,1 ≤ t∞
Em cada um dos problemas de 25 a 28, determine se a integral dada converge ou diverge.25. ∫ 0 ∞ t 2 + 1 - 1d t
Em cada um dos problemas de 1 a 4 , esboce o gráfico da função dada. Em cada caso, determine se f é continua, seccionalmente contínua, ou nenhuma das duas no intervalo 0 ≤ t ≤ 3 .2. f t = t 2 , 0 ≤ t
Em cada um dos problemas de 25 a 28, determine se a integral dada converge ou diverge.28. ∫ 0 ∞ e - t c o s td t
Em cada um dos problemas de 21 a 24, encontre a transformada de Laplace da função dada.21. f ( t ) 1 , 0 ≤ tπ 0 ,π ≤ t∞