Exercícios Resolvidos de Cálculo de Transformada de Laplace

Ver Teoria

Enunciado

Determine a solução do problema de valor inicial utilizando a transformada de Laplace.

( g )   y ' ' ' ' - 2 y ' ' + y = c o s ( 2 t ) ,   y ( 0 ) = 1 ,   y ' ( 0 ) = 0 ,   y ' ' ( 0 ) = 0 ,   y ' ' ' ( 0 ) = - 1

Passo 1

Oiie, tudo bem com você?

Temos que resolver o seguinte PVI

y ' ' ' ' - 2 y ' ' + y = c o s ( 2 t ) ,   y ( 0 ) = 1 ,   y ' ( 0 ) = 0 ,   y ' ' ( 0 ) = 0 ,   y ' ' ' ( 0 ) = - 1

temos que fazer isso usando transformada de laplace. O segredo aqui é aplicar transformada de laplace em toda a equação diferencial e usar a seguinte identificação para a transformada de uma derivada

𝓛 { y ( n ) ( x ) } = s n F ( s ) - s n - 1 y ( 0 ) - . . . - f ( n - 1 ) ( 0 )

em que F ( s ) = 𝓛 { y } . Isso vai nos levar para um problema algébrico e iremos poder obter de volta a nossa solução aplicando uma transformada inversa! Mas, vamos com calma! Quando precisar eu apresento as outras transformadas que serão úteis! Vem comigo!

Passo 2

Aplicando a transformada em toda a equação diferencial, temos que

𝓛 { y ( 4 ) } - 2 𝓛 { y ( 2 ) } + 𝓛 { y } = 𝓛 { c o s ( 2 t ) }

usando a fórmula da transformada da derivada, temos que

s 4 F ( s ) - s 3 y ( 0 ) - s 2 y ' ( 0 ) - s y ' ' ( 0 ) - y ' ' ' ( 0 ) - 2 [ s 2 F ( s ) - s y ( 0 ) - y ' ( 0 ) ] + F ( s ) = 𝓛 { c o s ( 2 t ) }

Aplicando as condições iniciais dadas, temos que

s 4 F ( s ) - s 3 + 1 - 2 [ s 2 F ( s ) - s ] + F ( s ) = 𝓛 { c o s ( 2 t ) }

de forma que podemos isolar F ( s ) como

F ( s ) [ s 4 - 2 s 2 + 1 ] = s 3 - 2 s - 1 + 𝓛 { c o s ( 2 t ) }

ou simplesmente

F ( s ) = 1 s 4 - 2 s 2 + 1 [ s 3 - 2 s - 1 + 𝓛 { c o s ( 2 t ) } ]

Ou seja, o nosso resultado final é a transformada inversa do que temos aí em cima! Mas antes de conseguirmos identificar o resultado! Precisamos retrabalhar todo esse lado direito! Vem comigo!

Passo 3

Distribuindo o denominador da seguinte maneira

F ( s ) = 1 s 4 - 2 s 2 + 1 [ s 3 - 2 s - 1 + 𝓛 { c o s ( 2 t ) } ] = s 3 - 2 s - 1 s 4 - 2 s 2 + 1 + 1 s 4 - 2 s 2 + 1 𝓛 { c o s ( 2 t ) }

podemos reduzir esse denominador comum da seguinte maneira

s 4 - 2 s 2 + 1 = ( s + 1 ) 2 ( s - 1 ) 2

e o numerador do primeiro termo pode ser escrito como

s 3 - 2 s - 1 = ( s + 1 ) ( s 2 - s - 1 )

de forma que o nosso problema se reduz à

F ( s ) = 1 s 4 - 2 s 2 + 1 [ s 3 - 2 s - 1 + 𝓛 { c o s ( 2 t ) } ] = s 2 - s - 1 ( s + 1 ) ( s - 1 ) 2 + 1 ( s + 1 ) 2 ( s - 1 ) 2 𝓛 { c o s ( 2 t ) }

Vamos tentar reescrevê-los usando frações parciais! Saca só!

Passo 4

Em frações parciais temos que essa relação se torna

1 ( s + 1 ) 2 ( s - 1 ) 2 = A ( s + 1 ) + B ( s + 1 ) 2 + C ( s - 1 ) + D ( s - 1 ) 2

multiplicando os dois lados por ( s + 1 ) 2 ( s - 1 ) 2 , temos a seguinte relação

1 = A ( s + 1 ) ( s - 1 ) 2 + B ( s - 1 ) 2 + C ( s + 1 ) 2 ( s - 1 ) + D ( s + 1 ) 2

temos que distribuir todos estes produtos, de forma que obtemos

1 = A [ s 3 - s 2 + s + 1 ] + B [ s 2 - 2 s + 1 ] + C ( s 3 + s 2 - s - 1 ) + D [ s 2 + 2 s + 1 ]

ou seja, para que os coeficientes do lado esquerdo e direito sejam iguais, devemos respeitar o seguinte sistema de equações lineares

A + C = 0           ( 1 )

- A + B + C + D = 0           ( 2 )

A - 2 B - C + 2 D = 0           ( 3 )

A + B - C + D = 1           ( 4 )

Bora resolver o sistema linear agora para encontrar essas constantes!

Passo 5

Da primeira equação temos que A = - C , portanto, as outras se tornam

2 C + B + D = 0           ( 2 )

- 2 C - 2 B + 2 D = 0           ( 3 )

- 2 C + B + D = 1           ( 4 )

Se somarmos a equação (2) com a (3), obtemos que - B + 3 D = 0 , portanto, B = 3 D . Agora, somando a segunda e quarta equação, temos que 2 B + 2 D = 1 , ou seja, em conjunto, temos que D = 1 / 8 e B = 3 / 8 . De forma que usando a segunda equação, temos que

2 C + 1 / 8 + 3 / 8 = 0

de forma que C = - 1 / 4 e finalmente, temos que A = 1 / 4 . Usando esse resultado, podemos escrever então que

1 ( s + 1 ) 2 ( s - 1 ) 2 = 1 4 1 ( s + 1 ) + 3 8 1 ( s + 1 ) 2 - 1 4 1 ( s - 1 ) + 1 8 1 ( s - 1 ) 2

e, a nossa equação diferencial se torna uma enorme soma de termos! Vamos resolver eles um a um! Vem comigo!

Passo 6

Agora, precisamos reescrever o outro termo como

s 2 - s - 1 ( s + 1 ) ( s - 1 ) 2 = A ( s + 1 ) + B ( s - 1 ) + C ( s - 1 ) 2

multiplicando tudo por ( s + 1 ) ( s - 1 ) 2 , temos que

s 2 - s - 1 = A ( s - 1 ) 2 + B ( s + 1 ) ( s - 1 ) + C ( s + 1 )

distribuindo os produtos temos

s 2 - s - 1 = A [ s 2 - 2 s + 1 ] + B [ s 2 - 1 ] + C [ s + 1 ]

gerando o seguinte sistema linear

A + B = 1           ( 1 )

- 2 A - B + C = - 1           ( 2 )

A - B + C = - 1           ( 3 )

Fazendo um processo análogo ao outro sistema, podemos obter as constantes como A = 1 / 4 , B = 3 / 4 e C = - 1 / 2 , portanto, temos que

s 2 - s - 1 ( s + 1 ) ( s - 1 ) 2 = 1 4 1 ( s + 1 ) + 3 4 1 ( s - 1 ) - 1 2 1 ( s - 1 ) 2

Maravilha! Com isso vamos conseguir finalmente resolver o nosso PVI!

Passo 7

Como reescrever todos os termos da equação diferencial irá ficar uma bagunça, vamos trabalhar com cada termo por vez. Começando com o termo

s 2 - s - 1 ( s + 1 ) ( s - 1 ) 2 = 1 4 1 ( s + 1 ) + 3 4 1 ( s - 1 ) - 1 2 1 ( s - 1 ) 2

Todos estes termos são transformadas de Laplace tabeladas de funções conhecidas. As suas inversas podem ser obtidas através das fórmulas

𝓛 { e a t } = 1 s - a ,   s > a

e, também

𝓛 { t n e a t } = n ! ( s - a ) n + 1 ,   s > a

da primeira fórmula podemos ler que

𝓛 - 1 { 1 s + 1 } = e - t e 𝓛 - 1 { 1 s - 1 } = e t

e, da segunda fórmula, podemos ler que

𝓛 - 1 { 1 ( s - 1 ) 2 } = t e t

ÓTIMO! Guarde esses resultados! Vamos precisar deles para escrever nosso resultado final! Vamos para o outro termo agora!

Passo 8

Temos que resolver agora o termo da forma

1 ( s + 1 ) 2 ( s - 1 ) 2 𝓛 { c o s ( 2 t ) }

usando a transformação em frações parciais feita antes, temos que

1 4 1 ( s + 1 ) 𝓛 { c o s ( 2 t ) } + 3 8 1 ( s + 1 ) 2 𝓛 { c o s ( 2 t ) } - 1 4 1 ( s - 1 ) 𝓛 { c o s ( 2 t ) } + 1 8 1 ( s - 1 ) 2 𝓛 { c o s ( 2 t ) }

todos esses termos são produtos de transformadas de laplace, portanto, a sua inversa será dada por

∫ 0 t f ( t - τ ) g ( τ ) d τ = 𝓛 - 1 { F ( s ) G ( s ) }

note que G ( s ) = 𝓛 { c o s ( 2 t ) } e, portanto, temos que g ( t ) = c o s ( 2 t ) . E, temos diferentes F ( s ) para cada termo, usando as fórmulas que apresentei no passo anterior, temos que

𝓛 - 1 { 1 ( s - 1 ) 2 } = t e t , 𝓛 - 1 { 1 ( s - 1 ) } = e t , 𝓛 - 1 { 1 ( s + 1 ) 2 } = t e - t e 𝓛 - 1 { 1 ( s + 1 ) } = e - t

ou seja, o nosso resultado é obtido através das integrais

1 4 ∫ 0 t c o s ( 2 τ ) e - ( t - τ ) d τ + 3 8 ∫ o t c o s ( 2 τ ) ( t - τ ) e - ( t - τ ) d τ - 1 4 ∫ 0 t c o s ( 2 τ ) e t - τ d τ + 1 8 ∫ 0 t c o s ( 2 τ ) ( t - τ ) e t - τ d τ

podemos juntar isso como uma grande integral

∫ 0 t c o s ( 2 τ ) [ 1 4 e - ( t - τ ) + 3 8 ( t - τ ) e - ( t - τ ) - 1 4 e t - τ + 1 8 ( t - τ ) e t - τ ] d τ

resolver isso é uma questão de paciência e integrações por partes! (Uma dica que eu dou é que elas são cíclicas) Eu vou deixar a resposta por aqui pois usualmente não precisamos resolver as convoluções neste tipo de problema! O nosso resultado final é tal que

y ( t ) = 1 4 e - t + 3 4 e t - 1 2 t e t + ∫ 0 t c o s ( 2 τ ) [ 1 4 e - ( t - τ ) + 3 8 ( t - τ ) e - ( t - τ ) - 1 4 e t - τ + 1 8 ( t - τ ) e t - τ ] d τ

A questão foi isso! Te vejo na próxima! Tchau Tchau!

Resposta

y ( t ) = 1 4 e - t + 3 4 e t - 1 2 t e t + ∫ 0 t c o s ( 2 τ ) [ 1 4 e - ( t - τ ) + 3 8 ( t - τ ) e - ( t - τ ) - 1 4 e t - τ + 1 8 ( t - τ ) e t - τ ] d τ

Exercícios de Livros Relacionados

Em cada um dos problemas de 21 a 24, encontre a transformada de Laplace da função dada.22. f ( t ) t , 0 ≤ t1 0 ,1 ≤ t∞
Em cada um dos problemas de 25 a 28, determine se a integral dada converge ou diverge.25. ∫ 0 ∞ t 2 + 1 - 1d t
Em cada um dos problemas de 1 a 4 , esboce o gráfico da função dada. Em cada caso, determine se f é continua, seccionalmente contínua, ou nenhuma das duas no intervalo 0 ≤ t ≤ 3 .2. f t = t 2 , 0 ≤ t
Em cada um dos problemas de 25 a 28, determine se a integral dada converge ou diverge.28. ∫ 0 ∞ e - t c o s td t
Em cada um dos problemas de 21 a 24, encontre a transformada de Laplace da função dada.21. f ( t ) 1 , 0 ≤ tπ 0 ,π ≤ t∞