Exercícios Resolvidos de Cálculo de Transformada de Laplace

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Enunciado

Utilizando o exercício anterior, para cada uma das funções F especificadas a seguir, determine a função harmônica fora do círculo { r ≥ 2 } , que coincide com a função F dada sobre a circunferência r = 2 .

c )   F ( θ ) = c o s 2 ( θ )

Passo 1

Oiie, tudo certinho?

O enunciado nos indica uma condição de fronteira do tipo

F ( θ ) = c o s 2 ( θ )

essa condição de fronteira é dada em r = 2 , em que r é a circunferência de uma circunferência. A condição de fronteira deve ser usada para determinarmos uma solução harmônica como solução da equação de Laplace

U r r + 1 r U r + 1 r 2 U θ θ = 0

a solução é obtida no exercício anterior como

U ( r , θ ) = A 0 + ∑ n = 1 ∞ A n r - n c o s ( n   θ ) + B n r - n s e n ( n   θ )

Vamos aplicar a condição de fronteira e obter o nosso resultado!

Passo 2

Usando que r = 2 temos que

U ( 2 , θ ) = A 0 + 1 2 ∑ n = 1 ∞ A n c o s ( n   θ ) + B n s e n ( n   θ )

temos que U ( 2 , θ ) = F ( θ ) = c o s 2 ( θ ) , portanto

c o s 2 ( θ ) = A 0 + 1 2 ∑ n = 1 ∞ A n c o s ( n θ ) + B n s e n ( n   θ )

para conseguirmos identificar os coeficientes, vamos usar a relação de meio ângulo

c o s 2 ( θ ) = 1 2 [ 1 + c o s ( 2 θ ) ]

de forma que obtemos

1 2 + 1 2 c o s ( 2 θ ) = A 0 + 1 2 ∑ n = 1 ∞ A n c o s ( n θ ) + B n s e n ( n   θ )

Note que comparando ambos os lados de nossa solução, podemos obter que os coeficientes B n sã nulos, e os outros que interessam são

A 0 = 1 2 e A 2 = 1 2

A solução é dada então como

U ( r , θ ) = 1 2 + 1 2   r 2 c o s ( 2 θ )

A questão foi isso! Te vejo na próxima! Tchau Tchau!

Resposta

U ( r , θ ) = 1 2 + 1 2   r 2 c o s ( 2 θ )

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Em cada um dos problemas de 21 a 24, encontre a transformada de Laplace da função dada.21. f ( t ) 1 , 0 ≤ tπ 0 ,π ≤ t∞