Exercícios Resolvidos de Cálculo de Transformada de Laplace

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Enunciado

8. Calcule as transformadas de Laplace das funções dadas.

a) c o s 2 2 t

Passo 1

Iae, como vai? Essa questão está um pouco complicada? Fique tranquilo que vamos tentar te ajudar. 😎👍

Nessa questão, estamos interessados em obter a transformada de Laplace da função f t = c o s 2 2 t .

Como podemos fazer isso? 🤔

Para obter a transformação de uma função f t para F s usamos a integral de transformação

F s = ∫ 0 ∞ f t e - s t d t

Pra essa transformada existir, deve atender a uma regra: a função f t deve ser continua no intervalo 0 , ∞

Bora ver como é no nosso caso? 😁

Passo 2

Analisando a função f t , vemos que ela é continua em todo o intervalo, então vamos aplicar a integral de transformação.

F s = ∫ 0 ∞ c o s 2 2 t e - s t d t

Pelo método de integração por partes, temos

u = c o s 2 2 t d v = e - s t → d u = - 2 s e n 4 t v = - e - s t s

∫ c o s 2 2 t e - s t d t = - e - s t s c o s 2 2 t - ∫ e - s t s 2 s e n 4 t d t

Novamente aplicando o mesmo método em ∫ e - s t s 2 s e n 4 t d t ...

∫ c o s 2 2 t e - s t d t = - e - s t s c o s 2 2 t + e - s t 8 s 16 + s 2 cos ⁡ 4 t + 2 16 + s 2 s e n 4 t

Aplicando os limites de integração...

∫ 0 ∞ c o s 2 2 t e - s t d t = - e - s ∞ s c o s 2 2 ∞ + e - s ∞ 8 s 16 + s 2 cos ⁡ 4 ∞ + 2 16 + s 2 s e n 4 ∞ - - e - s 0 s c o s 2 2 0 + e - s 0 8 s 16 + s 2 cos ⁡ 4 0 + 2 16 + s 2 s e n 4 0

Perceba que o temo e - s ∞ vai a 0 e o termo e - s 0 vai a 1 , ou seja

∫ 0 ∞ c o s 2 2 t e - s t d t = - 0 + 0 8 s 16 + s 2 cos ⁡ 4 ∞ + 2 16 + s 2 s e n 4 ∞ - - 1 s + 8 s 16 + s 2 + 2 16 + s 2 0

∫ 0 ∞ c o s 2 2 t e - s t d t = 1 s - 8 s 16 + s 2

F s = 1 s - 8 s 16 + s 2

E todos viveram felizes para sempre. Fim! 😉 Entendeu tudo? Responde Aí

Resposta

F s = 1 s - 8 s 16 + s 2

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Em cada um dos problemas de 21 a 24, encontre a transformada de Laplace da função dada.22. f ( t ) t , 0 ≤ t1 0 ,1 ≤ t∞
Em cada um dos problemas de 25 a 28, determine se a integral dada converge ou diverge.25. ∫ 0 ∞ t 2 + 1 - 1d t
Em cada um dos problemas de 1 a 4 , esboce o gráfico da função dada. Em cada caso, determine se f é continua, seccionalmente contínua, ou nenhuma das duas no intervalo 0 ≤ t ≤ 3 .2. f t = t 2 , 0 ≤ t
Em cada um dos problemas de 25 a 28, determine se a integral dada converge ou diverge.28. ∫ 0 ∞ e - t c o s td t
Em cada um dos problemas de 21 a 24, encontre a transformada de Laplace da função dada.21. f ( t ) 1 , 0 ≤ tπ 0 ,π ≤ t∞