Exercícios Resolvidos de Cálculo de Transformada de Laplace

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Enunciado

Resolva o PVI

Passo 1

Oiie, tudo certinho?

O enunciado nos dá o seguinte problema de valor inicial

e, precisamos resolvê-lo. Existem diversas maneiras de fazermos isso, mas a ideia da prova é para que apliquemos transformada de laplace! E, também, isso será bastante conveniente devido que o termo não-homogêneo da equação diferencial é uma delta! Vamos lá!

Passo 2

Antes de começarmos vamos lembrar duas transformadas importantes, a primeira é tal que

ℒ { y ( n ) ( t ) } = s n Y ( s ) - s n - 1 y ( 0 ) - . . . - y ( n - 1 ) ( 0 )

em que Y ( s ) = ℒ { y ( t ) } . Também iremos precisar de

ℒ { δ ( t - c ) } = e - c s

Se aplicarmos a transformada de Laplace em ambos os lados da equação diferencial, iremos obter que

ℒ { y ' ' ( t ) } + 4 ℒ { y ( t ) } = ℒ { δ ( t - 5 π ) }

aplicando a fórmula para a derivada da transformada de Laplace da derivada e da delta, temos que

s 2 Y ( s ) - s y ( 0 ) - y ' ( 0 ) + 4 Y ( s ) = e 5 π s

Aplicando as condições iniciais, temos que

s 2 Y ( s ) - 3 + 4 Y ( s ) = e 5 π s

Vamos usar essa expressão para calcularmos a nossa função! Vem comigo!

Passo 3

Se isolarmos Y ( s ) temos que

Y ( s ) [ s 2 + 4 ] = e 5 π s + 3

ou, simplesmente

Y ( s ) = e 5 π s s 2 + 4 + 3 s 2 + 4

Mas como achamos a nossa função y ( t ) ? Como temos que Y ( s ) = ℒ { y ( t ) } , portanto, temos que y ( t ) = ℒ - 1 [ Y ( s ) ] , sendo assim, podemos escrever

y ( t ) = ℒ - 1 [ Y ( s ) ] = ℒ - 1 [ e 5 π s 1 s 2 + 4 ] + 3 ℒ - 1 [ 1 s 2 + 4 ]

Para identificarmos as transformadas inversas, vamos relembrar algumas conhecidas! Vem comigo!

Passo 4

Temos as seguintes transformadas

ℒ { s e n ( a t ) } = a s 2 + a 2

e, também que

ℒ { u c ( t ) f ( t - c ) } = e - c s F ( s )

Se identificarmos em nossa expressão que a = 2 , podemos dividir e multiplicar por 2 , assim como c = - 5 π , podemos finalmente escrever que

y ( t ) = 1 2 ℒ - 1 [ e 5 π s 2 s 2 + 4 ] + 3 2 ℒ - 1 [ 2 s 2 + 4 ] = 1 2 u - 5 π ( t + 5 π ) s e n ( 2 t ) + 3 2 s e n ( 2 t )

A questão foi isso! Te vejo na próxima! Tchau Tchau!

Resposta

y ( t ) = 1 2 u - 5 π ( t + 5 π ) s e n ( 2 t ) + 3 2 s e n ( 2 t )

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Em cada um dos problemas de 25 a 28, determine se a integral dada converge ou diverge.25. ∫ 0 ∞ t 2 + 1 - 1d t
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Em cada um dos problemas de 25 a 28, determine se a integral dada converge ou diverge.28. ∫ 0 ∞ e - t c o s td t
Em cada um dos problemas de 21 a 24, encontre a transformada de Laplace da função dada.21. f ( t ) 1 , 0 ≤ tπ 0 ,π ≤ t∞