Exercícios Resolvidos de Cálculo de Transformada de Laplace

Calcule a transformada de Laplace da seguinte função, indicando para que valores da variável s a transformada é válida:

  1. f 1 t = 2 t 3 - 3 e - 2 t + 2 sen ⁡ t cos ⁡ t ,   t ≥ 0

Passo 1

Começamos aplicando a transformada em toda a função:

L f 1 t = L 2 t 3 - 3 e - 2 t + 2 sen ⁡ t cos ⁡ t

E usamos a linearidade da transformada para separá-las: L f 1 t = 2 L t 3 - 3 L e - 2 t + 2 L sen ⁡ t cos ⁡ t

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Passo 2

Agora, vamos olhar para cada transformada que sobrou individualmente.

L t 3

é uma transformada de polinômio. De maneira geral, temos: L t n = n ! s n + 1

Portanto, comparando, vemos que n = 3 , assim:

L t 3 = 3 ! s 3 + 1 = 3 ⋅ 2 ⋅ 1 s 4 = 6 s 4

Para a gente saber para quais valores o s é válido, lembramos da definição da transformada:

L y t = ∫ 0 ∞ y t e - s t d t

Não precisamos calcular efetivamente a integral, só precisamos saber que se o que estiver na exponencial for maior ou igual que zero, a integral pode divergir. Então, substituímos nossa expressão: L t 3 = ∫ 0 ∞ t 3 e - s t d t

Olhando para exponencial, vemos que o que está dentro dela vai ser menor que zero se s > 0 , então esses são os valores válidos para integral. Portanto, vamos ter: L t 3 = 6 s 4 , s > 0

Show. Uma já foi.

Passo 3

Vamos ver agora L e - 2 t . De maneira geral, vamos ter: L e - c t = 1 s + c

Assim, comparando, achamos c = 2 , logo: L e - 2 t = 1 s + 2

Seguindo a mesma ideia de antes, vamos ter: L e - 2 t = ∫ 0 ∞ e - 2 t e - s t d t = ∫ 0 ∞ e - 2 + s t d t

Assim, para que o que está na exponencial seja negativo, precisamos: s > - 2

Show, então:

L e - 2 t = 1 s + 2 , s > - 2

Passo 4

Faltou agora

L sen ⁡ t cos ⁡ t

Para resolver esse problema. Vamos lembrar da regrinha da soma dos senos:

sen ⁡ a + b = sen ⁡ a cos ⁡ b + sen ⁡ b cos ⁡ a

Então para a = b = t , vamos ter:

sen ⁡ t + t = sen ⁡ t cos ⁡ t + sen ⁡ t cos ⁡ t

sen ⁡ 2 t = 2 sen ⁡ t cos ⁡ t

sen ⁡ t cos ⁡ t = sen ⁡ 2 t 2

Opa, já nos ajuda, então:

L sen ⁡ t cos ⁡ t = 1 2 ⋅ L sen ⁡ 2 t

Por tabela, temos: L sen ⁡ a t = a s 2 + a 2

Então, comparando, vemos que a = 2 e então: L sen ⁡ t cos ⁡ t = 1 2 ⋅ L sen ⁡ 2 t = 1 2 ⋅ 2 s 2 + 4 = 1 s 2 + 4  

Olhando para a definição: L sen ⁡ 2 t = ∫ 0 ∞ sen ⁡ 2 t e - s t d t

Vemos que s > 0 . Então vamos ter: L sen ⁡ t cos ⁡ t = 1 s 2 + 4 , s > 0

Passo 5

Agora justamos tudo que achamos:

L f 1 t = 2 L t 3 - 3 L e - 2 t + 2 L sen ⁡ t cos ⁡ t

L f 1 t = 2 ⋅ 6 s 4 - 3 ⋅ 1 s + 2 + 2 ⋅ 1 s 2 + 4

L f 1 t = 12 s 4 - 3 s + 2 + 2 s 2 + 4

Para o valor de s , temos que pegar o caso mais restrito dentre aqueles que encontramos, que é justamente s > 0 , então:

L f 1 t = 12 s 4 - 3 s + 2 + 2 s 2 + 4 , s > 0

Prontinho 😊

Resposta

L f 1 t = 12 s 4 - 3 s + 2 + 2 s 2 + 4 , s > 0

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