Exercícios Resolvidos de Cálculo de Transformada de Laplace

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Enunciado

Verifique que qualquer função de forma u x , y = c 0 + c 1 x + c 2 y + c 3 x y satisfaz a equação de Laplace. Aqui c 0 ,   c 1 ,   c 2 e c 3 são constantes arbitrárias.

Passo 1

Oi pessoal, tudo bem?

Nessa questão precisamos mostrar que se temos uma função u de duas variáveis dada por:

u x , y = c 0 + c 1 x + c 2 y + c 3 x y

satisfaz a equação de Laplace.

Mas, pera um pouco, tá todo mundo lembrado do que é a equação de Laplace? Vamo dar uma revisada!

A equação de Laplace diz que:

∑ j = 1 n ∂ 2 u ∂ x j 2 = 0 ,   u = u ( x 1 , x 2 , … ,   x n )

Se uma função satisfaz a equação de Laplace e é contínua em uma região Ω , ela é dita contínua.

Então beleza, vamos pegar a u ( x , y ) dada no enunciado e verificar se ela obedece a equação de Laplace.

Passo 2

Bom, como temos aqui uma função de duas variáveis, a equação de Laplace será dada por:

∂ 2 u ∂ x 2 + ∂ 2 u ∂ y 2 = 0

Vamos começar calculando a derivada parcial de u com relação a x .

Lembrando que nesse cálculo y funciona como uma constante.

∂ u ∂ x = ∂ c 0 + c 1 x + c 2 y + c 3 x y ∂ x

= c 1 + c 3 y

Que é uma constante para x .

Derivando mais uma vez com relação a x , temos:

∂ 2 u ∂ x 2 = 0

(pois a derivada de uma constante é sempre nula).

Vamos agora derivar com relação a y :

∂ u ∂ y = c 2 + c 3 x

Que é uma constante para y .

Daí, derivando mais uma vez, temos:

∂ 2 u ∂ y 2 = 0

Perfeito! Ambas derivadas deram zero.

Assim, quando fazemos:

∂ 2 u ∂ x 2 + ∂ 2 u ∂ y 2

Vamos ter:

∂ 2 u ∂ x 2 + ∂ 2 u ∂ y 2 = 0 + 0 = 0

Logo, a função:

u x , y = c 0 + c 1 x + c 2 y + c 3 x y

De fato, satisfaz a equação de Laplace!

E aí gente, curtiram a solução?

Responde Aí!

Resposta

Resposta no texto.

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Em cada um dos problemas de 25 a 28, determine se a integral dada converge ou diverge.28. ∫ 0 ∞ e - t c o s td t
Em cada um dos problemas de 21 a 24, encontre a transformada de Laplace da função dada.21. f ( t ) 1 , 0 ≤ tπ 0 ,π ≤ t∞