Exercícios Resolvidos de Cálculo de Transformada de Laplace

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Enunciado

Nos problemas de ( a ) até ( i ) , use a definição de transformada de Laplace para calcular L f t .

g )   f t = t 2 e 3 t

Passo 1

Fala aí galera, tudo na paz com vocês??

Nesse probleminha recebemos uma função f dada por:

f t = t 2 e 3 t

E, precisamos calcular a transformada de Laplace de f usando a definição.

Vocês lembram a definição da transformada de Laplace?

Basicamente, ela diz que:

L f t =   ∫ 0 ∞ f t e - s t d t

Massa!

Então, no caso desse item, precisaremos resolver a integral:

L f t =   ∫ 0 ∞ t 2 e 3 t ⋅ e - s t d t

Perfeito! Vamo nessa pessoal!!

Passo 2

Nossa missão é calcular a integral imprópria:

∫ 0 ∞ t 2 e 3 t ⋅ e - s t d t

Pra calcular esse tipo de integral precisamos aplicar um limite, vai ficar assim:

∫ 0 ∞ t 2 e 3 t ⋅ e - s t d t = lim a → ∞ ⁡ ∫ 0 a t 2 e 3 t ⋅ e - s t d t

Ou seja, primeiro calculamos a integral colocando o limite superior como uma variável a . E, depois calcularmos esse o limite dessa expressão quando a tende ao infinito.

Temos:

∫ 0 a t 2 e 3 t ⋅ e - s t d t

=   ∫ 0 a t 2 ⋅ e t 3 - s d t  

Pra calcular essa integral precisamos usar o método de integração por partes. Lembram dele? Bora dar uma revisada:

∫ u d v = u ⋅ v - ∫ v d u

Assim, fazendo:

u = t 2 d v = e t 3 - s

Daí:

d u = 2 t v = e t 3 - s 3 - s

Substituindo na nossa fórmula, vamos ter:

∫ 0 a t 2 ⋅ e t 3 - s d t = t 2 ⋅ e t 3 - s 3 - s 0 a - ∫ 0 a 2 t ⋅ e t 3 - s 3 - s d t

Massa! O problema é que essa segunda integral ainda não tá bonita como gostaríamos. Então, vamos precisar aplicar o método da integração por partes novamente:

∫ 0 a 2 t ⋅ e t 3 - s 3 - s d t

Vamos fazer:

u = 2 t d v = e t 3 - s 3 - s

Logo:

d u = 2 v = e t 3 - s 3 - s 2

Substituindo, vamos ter:

∫ 0 a 2 t ⋅ e t 3 - s 3 - s d t = 2 t ⋅ e t 3 - s 3 - s 2 0 a - ∫ 0 a 2 ⋅ e t 3 - s 3 - s 2 d t

= 2 a ⋅ e a 3 - s 3 - s 2 - 2 ⋅ e t 3 - s 3 - s 3 0 a

= 2 a ⋅ e a 3 - s 3 - s 2 + 2 3 - s 3 - 2 e a ( 3 - s ) 3 - s 3

Perfeito, substituindo esse resultado na equação principal, temos:

∫ 0 a t 2 ⋅ e t 3 - s d t = t 2 ⋅ e t 3 - s 3 - s 0 a - 2 a ⋅ e a 3 - s 3 - s 2 - 2 3 - s 3 + 2 e a ( 3 - s ) 3 - s 3

= a 2 ⋅ e a 3 - s 3 - s - 2 a ⋅ e a 3 - s 3 - s 2 - 2 3 - s 3 + 2 e a 3 - s 3 - s 3

Massa!

Passo 3

Voltando para o nosso limite, temos:

lim a → ∞ ⁡ ∫ 0 a t 2 e 3 t ⋅ e - s t d t

Mas, já calculamos a integral, então temos:

lim a → ∞ ⁡ a 2 ⋅ e a 3 - s 3 - s - 2 a ⋅ e a 3 - s 3 - s 2 - 2 3 - s 3 + 2 e a 3 - s 3 - s 3

Aqui precisamos nos ligar em um detalhe bem pertinente. Se considerarmos que s < 3 , a nossa função tenderia pro infinito, e não conseguiríamos encontrar L { f t } .

Mas, se lembrarmos direitinho:

L f t = F ( s )

Ou seja, s é uma variável. Então, podemos considerar seu domínio para s > 3 , e assim temos que calcular o seguinte limite:

lim a → ∞ ⁡ - a 2 ⋅ e - a s - 3 s - 3 - 2 a ⋅ e - a s - 3 s - 3 2 + 2 s - 3 3 - 2 e - a ( s - 3 ) s - 3 3

Com s - 3 > 0 . Daí, todos os limites envolvendo a exponencial de - a vão para zero, pois a tende pro infinito. Logo, vai sobrar apenas:

lim a → ∞ ⁡ - a 2 ⋅ e - a s - 3 s - 3 - 2 a ⋅ e - a s - 3 s - 3 2 + 2 s - 3 3 - 2 e - a s - 3 s - 3 3

= lim a → ∞ ⁡ 2 s - 3 3

= 2 s - 3 3

Portanto, concluímos que:

L f t = F s = 2 s - 3 3  

Prontinho galera! Curtiram a solução? Responde Aí!

Até a próxima 😊

Resposta

2 s - 3 3

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Em cada um dos problemas de 21 a 24, encontre a transformada de Laplace da função dada.21. f ( t ) 1 , 0 ≤ tπ 0 ,π ≤ t∞