Exercícios Resolvidos de Cálculo de Transformada de Laplace

Ver Teoria

Enunciado

Determine condições sobre as constantes a , b e c para que o polinômio homogêneo de segunda ordem u x , y = a x 2 + b x y + c y 2 satisfaça a equação de Laplace.

Passo 1

Olá gente bonita, como vocês estão?

Nessa questão precisamos encontrar as condições para a , b e c de modo que o polinômio homogêneo de segunda ordem dado por:

u x , y = a x 2 + b x y + c y 2

satisfaça a equação de Laplace.

Mas, pera um pouco, tá todo mundo lembrado do que é a equação de Laplace? Vamo dar uma revisada!

A equação de Laplace diz que:

∑ j = 1 n ∂ 2 u ∂ x j 2 = 0 ,   u = u ( x 1 , x 2 , … ,   x n )

Se uma função satisfaz a equação de Laplace e é contínua em uma região Ω , ela é dita contínua.

Então beleza, vamos pegar a u ( x , y ) dada no enunciado impor que ela satisfaz a equação de Laplace para a partir daí encontrar a relação entre os coeficientes.

Passo 2

Bom, para substituir a nossa função u ( x , y ) na equação de Laplace, vamos começar calculando suas derivadas parciais com relação a x e a y .

∂ u ∂ x = 2 a x + b y

Derivando novamente, e lembrando que nessa derivada y é como uma constante, temos:

∂ 2 u ∂ x 2 = 2 a

Massa! Vamos agora calcular as derivadas com relação a y :

∂ u ∂ y = b x + 2 c y

Derivando novamente:

∂ 2 u ∂ y 2 = 2 c

Ótimo!

Como temos aqui uma função de duas variáveis, a equação de Laplace será dada por:

∂ 2 u ∂ x 2 + ∂ 2 u ∂ y 2 = 0

Substituindo os resultados que já encontramos, vem:

2 a + 2 c = 0

∴ c = - a

Portanto, o nosso polinômio homogêneo de segunda ordem, para que obedeça a equação de Laplace, deverá ser dado por:

u x , y =   a x 2 - y 2 + b x y

Ou seja, as condições são:

a ∈ R

b ∈ R

c = - a

Prontinho pessoal!

Espero que vocês tenham curtido a solução, até a próxima 😊

Resposta

a ∈ R

b ∈ R

c = - a

Exercícios de Livros Relacionados

Em cada um dos problemas de 21 a 24, encontre a transformada de Laplace da função dada.22. f ( t ) t , 0 ≤ t1 0 ,1 ≤ t∞
Em cada um dos problemas de 25 a 28, determine se a integral dada converge ou diverge.25. ∫ 0 ∞ t 2 + 1 - 1d t
Em cada um dos problemas de 1 a 4 , esboce o gráfico da função dada. Em cada caso, determine se f é continua, seccionalmente contínua, ou nenhuma das duas no intervalo 0 ≤ t ≤ 3 .2. f t = t 2 , 0 ≤ t
Em cada um dos problemas de 25 a 28, determine se a integral dada converge ou diverge.28. ∫ 0 ∞ e - t c o s td t
Em cada um dos problemas de 21 a 24, encontre a transformada de Laplace da função dada.21. f ( t ) 1 , 0 ≤ tπ 0 ,π ≤ t∞