Exercícios Resolvidos de Cálculo de Transformada de Laplace

Questão 2: Faça o que se pede em cada item:

(B) Pela definição, calcule a transformada de Laplace da função (mostrando os passos):

f t = e 2 t ,         0 ≤ t ≤ 1   4 ,           1 < t            

Passo 1

A definição da transformada de Laplace de uma função g x é:

G s = L g x s = ∫ 0 ∞ g t ⋅ e - s t d t

Bem, a função f t tem duas definições dependendo do tempo:

f t = e 2 t ,         0 ≤ t < 1   4 ,           1 < t            

Então para calcular Laplace, vamos dividir a integral em duas...

F s = L f x s = ∫ 0 ∞ f t ⋅ e - s t d t         →

F s = ∫ 0 1 e 2 t ⋅ e - s t d t + ∫ 1 ∞ 4 ⋅ e - s t d t  

O que vamos fazer agora é calcular cada uma dessas integrais! Bora?

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Calculando a primeira integral:

∫ 0 1 e 2 t ⋅ e - s t d t = ∫ 0 1 e 2 - s t d t =

Fazendo uma mudança

a = 2 - s t         →             d a = 2 - s d t

Mudando também os limites de integração...

t = 0     →             a = 0

t = 1     →             a = 2 - s

∫ 0 1 e 2 - s t d t = ∫ 0 2 - s e a d a 2 - s =

1 2 - s ∫ 0 2 - s e a d a =

1 2 - s e a 0 2 - s =

e 2 - s - 1 2 - s

Passo 3

Para a outra integral...

∫ 1 ∞ 4 ⋅ e - s t d t

Lembrando que integração imprópria é um limite...

lim n → ∞ ⁡ ∫ 1 n 4 ⋅ e - s t d t

Calculando essa integral dentro dos limites

= 4 ∫ 1 n e - s t d t = 4 e - s t - s 1 n =

lim n → ∞ ⁡ 4 e - s ⋅ n - s - 4 e - s - s

lim n → ∞ ⁡ 4 e - s ⋅ n - s + 4 e - s s =

Como esse limite converge e vai a 0 apenas se para s > 0

4 e - s s

Passo 4

A transformada de Laplace de f t então é...

F s = ∫ 0 ∞ f t ⋅ e - s t d t =

e 2 - s - 1 2 - s + 4 e - s s =

e 2 e - s 2 - s - 1 2 - s + 4 e - s s =

e - s e 2 2 - s + 4 s - 1 2 - s

Onde s > 0 .

Resposta

L f x s = e - s e 2 2 - s + 4 s - 1 2 - s ,                           s > 0

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