Exercícios Resolvidos de Cálculo de Transformada de Laplace

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Enunciado

Utilizando o exercício anterior, para cada uma das funções F especificadas a seguir, determine a função harmônica fora do círculo { r ≥ 2 } , que coincide com a função F dada sobre a circunferência r = 2 .

d )   F ( θ ) = θ 2

Passo 1

Oiie, tudo certinho?

O enunciado nos indica uma condição de fronteira do tipo

F ( θ ) = θ 2

essa condição de fronteira é dada em r = 2 , em que r é a circunferência de uma circunferência. A condição de fronteira deve ser usada para determinarmos uma solução harmônica como solução da equação de Laplace

U r r + 1 r U r + 1 r 2 U θ θ = 0

a solução é obtida no exercício anterior como

U ( r , θ ) = A 0 + ∑ n = 1 ∞ A n r - n c o s ( n   θ ) + B n r - n s e n ( n   θ )

Vamos aplicar a condição de fronteira e obter o nosso resultado!

Passo 2

Usando que r = 2 temos que

U ( 2 , θ ) = A 0 + 1 2 ∑ n = 1 ∞ A n c o s ( n   θ ) + B n s e n ( n   θ )

temos que U ( 2 , θ ) = F ( θ ) = θ 2 , portanto

θ 2 = A 0 + 1 2 ∑ n = 1 ∞ A n c o s ( n θ ) + B n s e n ( n   θ )

Aqui teremos que calcular os coeficientes de Fourier explicitamente! No entanto, temos que a função θ 2 é par! Portanto, apenas os coeficientes A n e A 0 serão não nulos, estes coeficientes podem ser calculados como

A 0 = 2 L ∫ 0 L F ( θ ) d θ = 2 π ∫ 0 π θ 2 d θ

e, também

A n = 2 L ∫ 0 L F ( θ ) c o s ( n θ ) d θ = 2 π ∫ 0 π θ 2 c o s ( n θ ) d θ

Vamos calcular as integrais!

Passo 3

O coeficiente A 0 pode ser encontrado diretamente como

A 0 = 2 π ∫ 0 π θ 2 d θ = 2 3 π θ 3 | 0 π

ou, avaliando os limites

A 0 = 2 π 2 3

Os outros coeficientes terão que ser calculados usando integração por partes! Então vamos fazer isso no próximo passo!

Passo 4

Temos a seguinte integração

A n = 2 π ∫ 0 π θ 2 c o s ( n �� ) d θ

usando integração por partes com a escolha

u = θ 2 e d u = 2   θ   d θ

e, também

d v   = c o s ( n   θ ) d θ e v = 1 n s e n ( n θ )

Temos então que

A n = 2 n π θ 2 s e n ( n θ ) | 0 π - 4 n π ∫ 0 π θ   s e n ( n θ ) d θ

como temos que s e n ( n π ) = s e n ( 0 ) = 0 , o primeiro termo se anula quando avaliarmos os limites, sobrando

A n = - 4 n π ∫ 0 π θ   s e n ( n θ ) d θ

Temos que aplicar integração por partes novamente! Bora lá!

Passo 5

Integrando por partes mais uma vez, temos que

u = θ e d u = d θ

assim como

d v = s e n ( n θ ) d θ e v = - 1 n c o s ( n θ )

sendo assim, temos que o coeficiente é dado por

A n = 4 n 2 π θ   c o s ( n θ ) | 0 π - 4 n 2 π ∫ 0 π c o s ( n θ ) d θ

avaliando os limites no primeiro termo temos que

A n = - 4 n 2 - 4 n 2 π ∫ 0 π c o s ( n θ ) d θ

a integral pode ser identificada como

∫ 0 π c o s ( n θ ) d θ = 1 n s e n ( n θ ) | 0 π = 0

Portanto, temos finalmente que

A n = - 4 n 2

e juntando este resultado e o que obtivemos para A 0 , temos que a solução geral é dada por

U ( r , θ ) = 2 π 2 3 - 4 ∑ n = 1 ∞ r - n n 2 c o s ( n   θ )

A questão foi essa! Te vejo na próxima! Tchau Tchau!

Resposta

U ( r , θ ) = 2 π 2 3 - 4 ∑ n = 1 ∞ r - n n 2 c o s ( n   θ )

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