Elaboração própria.
Calcule, pela definição da Transformada de Laplace, .
Passo 1
A definição da Transformada de Laplace é a seguinte:
Podemos escrever então
Passo 2
Vamos agora calcular essa integral. Não conseguimos fazer uma integração direta de cara, não é? Vamos tentar então integrar por partes. Temos:
Se definirmos
Substituindo esses valores
Passo 3
Vamos agora tomar o limite dessa expressão que encontramos.
Bem, como a última fração não tem nenhum , podemos tirar ela do limite.
Agora vamos analisar com calma. Se fizermos , teremos a exponencial tendendo pra infinito e o termo tendendo para infinito também! Então daria uma indeterminação de cara!
Por outro lado, quando , o da exponencial fica com um sinal de menos e ela vai tender pra ! Vamos ver no que dá.
Nesse limite que sobrou temos um problema. Embora o limite da exponencial dê zero com , tem um multiplicando a fração e tendendo a infinito. Logo, quando aplicamos na expressão, encontramos uma indeterminação do tipo .
Você deve estar pensando “se tem indeterminação então posso usar L’Hospital”, não é? Calma, L’Hospital só pode ser aplicado com indeterminações do tipo ou , não , que é o que temos aqui. Mas nós vamos mexer nesse limite para podermos usar a regra, olha só:
Passamos o para baixo como . Como (para ), agora temos e podemos usar L’Hospital. Derivando o numerador e o denominador, temos:
Então, encontramos:
Eu sei que esse resultado é diferente do que aparece na tabela. Vamos fazer umas Matemáticas:
Show?