Exercícios Resolvidos de Cálculo de Transformada de Laplace

Elaboração própria.

Calcule, pela definição da Transformada de Laplace, L t e a t ( s ) .

Passo 1

A definição da Transformada de Laplace é a seguinte:

L f s = 0 f t e - s t d t

Podemos escrever então

L t e a t s = 0 t e a t e - s t d t =

= 0 t e a - s t d t = lim x 0 x t e a - s t d t

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Passo 2

Vamos agora calcular essa integral. Não conseguimos fazer uma integração direta de cara, não é? Vamos tentar então integrar por partes. Temos:

u ' v = u v - u v '

Se definirmos

u ' = e a - s t             u = e a - s t a - s

v = t             v ' = 1

Substituindo esses valores

0 x t e a - s t d t = e a - s t t a - s t = 0 t = x - 0 x e a - s t a - s d t

= e a - s t t a - s - e a - s t a - s 2 t = 0 t = x =

= e a - s x x a - s - e a - s x a - s 2 + 1 a - s 2 =

Passo 3

Vamos agora tomar o limite dessa expressão que encontramos.

L t e a t s = lim x e a - s x x a - s - e a - s x a - s 2 + 1 a - s 2

Bem, como a última fração não tem nenhum x , podemos tirar ela do limite.

L t e a t s = lim x e a - s x x a - s - e a - s x a - s 2 + 1 a - s 2

L t e a t s = lim x e a - s x a - s x - 1 a - s + 1 a - s 2

Agora vamos analisar com calma. Se fizermos a > s , teremos a exponencial tendendo pra infinito e o termo x - 1 a - s tendendo para infinito também! Então daria uma indeterminação de cara!

Por outro lado, quando s > a , o x da exponencial fica com um sinal de menos e ela vai tender pra 0 ! Vamos ver no que dá.

L t e a t s = lim x e a - s x x a - s - lim x e a - s x a - s 2 + 1 a - s 2

L t e a t s = lim x e a - s x x a - s + 1 a - s 2

Nesse limite que sobrou temos um problema. Embora o limite da exponencial dê zero com s > a , tem um x multiplicando a fração e tendendo a infinito. Logo, quando aplicamos x na expressão, encontramos uma indeterminação do tipo 0 × .

Você deve estar pensando “se tem indeterminação então posso usar L’Hospital”, não é? Calma, L’Hospital só pode ser aplicado com indeterminações do tipo 0 / 0 ou / , não 0 × , que é o que temos aqui. Mas nós vamos mexer nesse limite para podermos usar a regra, olha só:

L t e a t s = lim x x a - s e - a - s x + 1 a - s 2

Passamos o e a - s x para baixo como e - a - s x . Como lim x e - a - s x = (para s > a ), agora temos / e podemos usar L’Hospital. Derivando o numerador e o denominador, temos:

lim x x a - s e - a - s x = lim x 1 - a - s 2 e - a - s x = 0

Então, encontramos:

L t e a t s = 1 a - s 2

Eu sei que esse resultado é diferente do que aparece na tabela. Vamos fazer umas Matemáticas:

L t e a t s = 1 a - s 2 = 1 - 1 s - a 2 = 1 - 1 2 s - a 2 = 1 s - a 2

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Resposta

1 s - a 2

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