Exercícios Resolvidos de Cálculo de Transformada de Laplace

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Enunciado

Calcule, pela definição da Transformada de Laplace, L t e a t ( s ) .

Passo 1

A definição da Transformada de Laplace é a seguinte:

L f s = ∫ 0 ∞ f t e - s t d t

Podemos escrever então

L t e a t s = ∫ 0 ∞ t e a t e - s t d t =

= ∫ 0 ∞ t e a - s t d t = lim x → ∞ ⁡ ∫ 0 x t e a - s t d t

Passo 2

Vamos agora calcular essa integral. Não conseguimos fazer uma integração direta de cara, não é? Vamos tentar então integrar por partes. Temos:

∫ u ' v = u v - ∫ u v '

Para definirmos quem é u ’ e quem é v , vamos usar aquele macete do LIATE. Com isso, temos que a função algébrica (polinômio) t tem preferência para ser chamada de v . Então fica assim,

u ' = e a - s t       →       u = e a - s t a - s

v = t       →       v ' = 1

Substituindo esses valores

∫ 0 x t e a - s t d t = e a - s t a - s t t = 0 t = x - ∫ 0 x e a - s t a - s d t

Resolvendo a parte da integral temos,

∫ 0 x e a - s t a - s d t = e a - s t a - s 2 t = 0 t = x

Lembrando a e s são constantes, pois estamos integrando em função de t .

Seguindo com a resolução, ficamos com

∫ 0 x t e a - s t d t = e a - s t t a - s - e a - s t a - s 2 t = 0 t = x

= e a - s x x a - s - e a - s x a - s 2 - e a - s 0 0 a - s - e a - s 0 a - s 2

= e a - s x x a - s - e a - s x a - s 2 + 1 a - s 2

Passo 3

Vamos agora tomar o limite dessa expressão que encontramos.

L t e a t s = lim x → ∞ ⁡ e a - s x x a - s - e a - s x a - s 2 + 1 a - s 2

Bem, como a última fração não tem nenhum x , podemos tirar ela do limite.

L t e a t s = lim x → ∞ ⁡ e a - s x x a - s - e a - s x a - s 2 + 1 a - s 2

L t e a t s = lim x → ∞ ⁡ e a - s x a - s x - 1 a - s + 1 a - s 2

Agora vamos analisar com calma. Se fizermos a > s , teremos a exponencial tendendo pra infinito e o termo x - 1 a - s tendendo para infinito também! Então daria uma indeterminação de cara!

Por outro lado, quando s > a , o x da exponencial fica com um sinal de negativo e ela vai tender pra 0 ! Repara só, eu separei os termos do limite para visualizar melhor

L t e a t s = lim x → ∞ ⁡ e a - s x x a - s - lim x → ∞ ⁡ e a - s x a - s 2 + 1 a - s 2

Como, o meu expoente sera negativo, o limite que tá no meio da expressão vai zerar. Aí ficamos assim,

L t e a t s = lim x → ∞ ⁡ e a - s x x a - s + 1 a - s 2

O limite que sobrou cai em uma indeterminação do tipo 0 × ∞ . Com isso, não podemos aplicar L’Hopital, mas vamos rescrever o limite dessa forma,

L t e a t s = lim x → ∞ ⁡ x a - s e - a - s x + 1 a - s 2

Agora caímos em uma indeterminação do tipo ∞ / ∞ e podemos usar L’Hospital. Derivando o numerador e o denominador, temos:

lim x → ∞ ⁡ x a - s e - a - s x = lim x → ∞ ⁡ 1 - a - s 2 e - a - s x = 0

Então, encontramos:

L t e a t s = 1 a - s 2

Eu sei que esse resultado é diferente do que aparece na tabela. Vamos fazer umas Matemáticas:

L t e a t s = 1 a - s 2 = 1 - 1 s - a 2 = 1 - 1 2 s - a 2 = 1 s - a 2

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Resposta

1 s - a 2

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