Exercícios Resolvidos de Cálculo de Transformada de Laplace

UNESA, Cálculo Diferencial e Integral III, Banco de Questões - Estácio - AV2, Questão Q30

Considere f(t) definida para 0 t . A Transformada de Laplace de f ( t ) é dada pela fórmula F s = L f   t = 0 e - s t d t . Determine L { e 5 t } .

Passo 1

Opa, vamos lá. A questão quer que a gente calcule a transformada de Laplace de e 5 t . Podemos substituir na formulinha que a questão nos trouxe:

L e 5 t = 0 e 5 t   e - s t d t = 0 e 5 t - s t d t

Como essa é uma integral chamada de imprópria, no lugar do infinito no limite superior, podemos substituir por x e depois aplicamos o limite para x da seguinte forma:

0 e 5 t - s t d t = lim x 0 x e 5 t - s t d t

Agora, vamos resolver essa integral e aplicar os limites inferior e superior.

lim x e 5 - s t 5 - s 0 x = l i m x e 5 - s x 5 - s - 1 5 - s

Bom, chegamos em uma situação em que o limite pode assumir dois valores dependendo do valor de s . Vamos ver os casos:

Para s < 5 :

l i m x e 5 - s x 5 - s - 1 5 - s =

Para s > 5 :

l i m x e 5 - s x 5 - s - 1 5 - s = 0 - 1 5 - s = 1 s - 5

L e 5 t = 1 s - 5         p a r a   s > 5

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Resposta

L e 5 t = 1 s - 5         p a r a   s > 5

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