Exercícios Resolvidos de Cálculo de Transformada de Laplace

UNICAMP, Cálculo 3, P1 - 2017.2 - Matutino, Questão 2b

( b ) Pela definição, calcule a transformada de Laplace da função (justificando os passos)

f t = e 2 t ,     0 t < 1 4 ,     1 t

Passo 1

Legal, vamos usar a definição:

L f t = 0 f ( t ) e - s t d t    

Se a gente separar os intervalos da integral, dá para substituir a expressão:

L f t = 0 f ( t ) e - s t d t = 0 1 e 2 t e - s t d t + 1 4 e - s t d t

Que vai ficar:

L f t = 0 1 e t 2 - s d t + 1 4 e - s t d t

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

0 1 e t 2 - s d t

Para resolver essa integral, vamos usar a regra da substituição:

u = t 2 - s d u = 2 - s d t

Além disso: quando t = 0 u = 0 e t = 1 u = 2 - s

Substituindo:

0 1 e t 2 - s d t = 0 2 - s e u 2 - s d u = e u 2 - s 0 2 - s = e 2 - s 2 - s - e 0 2 - s = e 2 - s 2 - s - 1 2 - s

Passo 3

1 4 e - s t d t

Perceba que essa é uma integral imprópria, então:

1 4 e - s t d t = lim x 1 x 4 e - s t d t = 4 lim x - e - s t s 1 x = 4 lim x - e - s x s + e - s s = 4 e - s s

Passo 4

Nossa transformada será:

L f t = 0 f t e - s t d t = 0 1 e 2 t e - s t d t + 1 4 e - s t d t

L f t = e 2 - s 2 - s - 1 2 - s + 4 e - s s

Pronto, é só isso :D

Resposta

L f t = e 2 - s 2 - s - 1 2 - s + 4 e - s s

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