Exercícios Resolvidos de Cálculo de Transformada de Laplace

UNESA, Cálculo Diferencial e Integral III, Banco de Questões - Estácio - AV2, Questão Q47

Sabendo que a Transformada de Laplace de uma função F t   ( t > 0 ) denotada aqui por L F t é definida por:

Considere f t definida para 0 t . A de   f t é dada pela fórmula

  L F t =   f s = 0 F t e - s t d t

E usando a linearidade do operador em questão, determine a Transformada de Laplace da função elementar F t = 3 e 5 t + 2 t 3 + 5

Passo 1

Fala aí!! Essa questão quer que a gente calcule a transformada de Laplace da função:

F t = 3 e 5 t + 2 t 3 + 5

L 3 e 5 t + 2 t 3 + 5 = 0 3 e 5 t + 2 t 3 + 5 e - s t d t = 0 3 e 5 t e - s t d t + 0 2 t 3 e - s t d t + 0 5 e - s t d t

Vamos resolver separadamente cada integral:

1) 0 3 e 5 t e - s t d t = lim k 0 k 3 e 5 t e - s t d t = lim k 3 e 5 t e - s t 5 - s 0 k = lim k 3 e 5 - s k 5 - s - 1 5 - s

Para s < 5 , o limite tende a infinito.

Para s > 5 , temos:

0 3 e 5 t e - s t d t = 3 s - 5

2) 0 2 t 3 e - s t d t = lim k ( 0 2 t 3 e - s t d t )

Nessa integral, teremos que fazer integração por parte três vezes e chegaremos a:

lim k ( 0 2 t 3 e - s t d t ) = lim k 2 s 4 - s 3 e - s t t 3 - 3 s 2 t 2 e - s t - 6 t e - s t - 6 e - s t 0 k  

lim k 2 s 4 - s 3 e - s k k 3 - 3 s 2 k 2 e - s k - 6 k e - s k - 6 e - s k + 6

Aplicando o limite, chegaremos a:

0 2 t 3 e - s t d t = 2 s 4 6 = 12 s 4

3) 0 5 e - s t d t = 5 0 e - s t d t = 5 - e - s t s 0 = 5 0 + 1 s = 5 s

Agora que já calculamos a transformada de Laplace de cada termo, podemos substituir na expressão.

L 3 e 5 t + 2 t 3 + 5 = 3 s - 5 + 12 s 4 + 5 s

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Resposta

L 3 e 5 t + 2 t 3 + 5 = 3 s - 5 + 12 s 4 + 5 s

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