O abastecimento de água de um prédio é feito por uma tubulação, conforme o esquema a figura abaixo. Após passar por canos de seção reta A 1 e A 2 , a água segue por um cano de seção reta A 3 até sair( ponto 4) para a caixa d’água localizada no alto do edifício. Entre as posições 1 e 2 na tubulação é colocado um manômetro que mede a diferença de pressão ∆ p 12 = p 1 - p 2 . A altura do prédio é H e o volume da caixa d’água é V 0 .

  1. Encontre a velocidade v 1 , no ponto 1 do encanamento.
  2. Determine a vazão no tubo e o tempo necessário pra encher a caixa d’água.
  3. Determine a velocidade v 4 , com que a água sai pela extremidade do tubo no alto do edifício.
  4. Determine a pressão manométrica no ponto 1( p m 1 = p 1 - p a t m ) , que foi necessária para fornecer a vazão calculada.

Passo 1

a):

Pra resolver esse item a gente vai usar Bernoulli.

Bom, temos a diferença de pressão entre os dois pontos. Só que não sabemos a velocidade do fluido em nenhum ponto. A relação das pressões e velocidades nos pontos 1 e 2 por Bernoulli é dada por:

p 1 + ρ v 1 2 2 = p 2 + ρ v 2 2 2

Então:

p 1 - p 2 = ρ 2 . v 2 2 - v 1 2 = ∆ p 12

Mas ainda temos mais variáveis que equações. Mas olha só, a velocidade 1 se relaciona com a velocidade 2 a partir do princípio da continuidade, não é?

Isso é, como a vazão da bomba é a mesma nos dois pontos, a gente pode escrever essa parada assim:

V ' = A 1 v 1 = A 2 v 2   → v 2 = v 1 . A 1 A 2 = v 1 . A 1 A 1 4 = 4 v 1

Então:

∆ p 12 = ρ 2 16 v 1 2 - v 1 2

∆ p 12 = ρ 2 . v 1 2 . 15

Nós sabemos o valor de ∆ p 12 . Então:

0,3 x 10 5 = 15.10 3 2 v 1 2   → 60 x 10 3 15 x 10 3 = v 1 2 = 4

v 1 2 = 4   → v 1 = 2,0   m / s

Passo 2

b):

Pra determinar a vazão basta a gente usar aquela fórmula:

V ' = A v = A 1 v 1 = 5,0 x 10 - 3 . 2,0 = 10 - 2   m 3 / s = 0,010   m 3 / s

E o tempo que leva pra encher a caixa é calculado pela divisão e V 0 por esse valor:

∆ t = V 0 V ' = 10 10 - 2 = 1000 s

Passo 3

c):

Pra descobrir isso, basta a gente perceber que o cano que libera a água no ponto 4 é o mesmo que sai lá de baixo e tem seção transversal A 3 . Assim:

v 3 = v 4 = A 1 v 1 A 3 = A 1 v 1 A 1 8 = 8 v 1

v 3 = v 4 = 8 v 1 = 8.2 = 16   m / s

v 4 = 16   m / s

Passo 4

d):

Vamos usar a equação de Bernouli entre os pontos 1 e 4 pra achar a pressão manométrica p m 1 .

Isso porque a pressão em 4 é a pressão atmosférica. Então:

p 1 + ρ v 1 2 2 = p a t m + ρ v 4 2 2 + ρ g H

Então:

p 1 - p a t m = ρ 2 v 4 2 - v 1 2 + ρ g H = 10 3 2 . 16 2 - 2 2 + 10 3 . 10 . 12

p 1 - p a t m = p m 1 = 10 3 2 . 16 2 - 2 2 + 10 3 . 10 . 12 = 246000

p m 1 = 2,46 x 10 5 P a

Resposta

a):

v 1 = 2,0   m / s

b):

V ' = 0,010   m 3 / s

∆ t = 1000 s

c):

v 4 = 16   m / s

d):

p m 1 = 2,46 x 10 5 P a

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