Um sistema de abastecimento de água ( ρ = 1,00 × 10 3   k g / m 3 ) consiste em um cano com diâmetro de entrada, de valor 100,0   m m igual ao diâmetro de saída. A diferença de pressão entre as extremidades de entrada e de saída é igual a 1,00   a t m 1,00 × 10 5   P a . Determine:

A diferença de altura entre as extremidades do cano ( g = 10,0   m / s 2 ) .

Passo 1

Oláaa! Vamos reunir as informações que ele deu para ver se a gente pensa em como relacionar elas, tá? Ah e vamos colocar no SI conforme formos listando-as também!

Temos um cano, o diâmetro de entrada dele é 100,00   m m = 0,1   m . Aí podemos dizer que a área de entrada é

A e = 0,01   m 2

O diâmetro de saída é o mesmo, então a área de saída também vai ser

A s = 0,01   m 2

Ele diz que a diferença de pressão entre a entrada e a saída vale

p e - p s = 1,00 × 10 5   P a

E a densidade do fluído, a água, é:

ρ = 1,00 × 10 3   k g / m 3

E a gravidade é:

g = 10,0   m / s 2

E ele quer saber a diferença de altura entre essas extremidades, então a gente precisa calcular

h = y s - y e

Cara, como a questão nos deu um tubo, e nos deu essas informações sobre a entrada e a saída desse tubo, a gente vai pensar em usar duas coisinhas:

A equação de Bernoulli, que diz que essa grandeza da esquerda é a mesma para todos os pontos do tubo.

p + ρ g y + ρ v 2 2 = c o n s t a n t e

E expressão da vazão

Q = v A

Vem comigo descobrir como fica!

Passo 2

Repara que ali em Bernoulli aparece a velocidade v , mas a gente não tem nenhuma informação sobre as velocidades nas extremidades.

Vamos usar a expressão da vazão para chegar nessas informações! Como? Pelo princípio da continuidade, a vazão de entrada precisa ser igual a vazão de saída do tubo. Então podemos escrever:

Q e = Q s

Substituindo a expressão para a vazão:

v e A e = v s A s

Mas lembra que A e = A s , então a gente pode fazer:

v e A s = v s A s ∴ v e = v s

Logo, as velocidades de saída e entrada são iguais!

Passo 3

Agora vamos usar Bernoulli. Ele diz que

p + ρ g y + ρ v 2 2 = c o n s t a n t e

Se essa grandeza da esquerda é a mesma para todos os pontos do tubo, a gente pode montar ela para entrada do tubo

p e + ρ g y e + ρ v e 2 2

E para a saída

p s + ρ g y s + ρ v s 2 2

E então igualar essas duas coisinhas:

p e + ρ g y e + ρ v e 2 2 = p s + ρ g y s + ρ v s 2 2

Passo 4

Aí coloca nossos dados nela. Vimos que v s = v e

p e + ρ g y e + ρ v e 2 2 = p s + ρ g y s + ρ v e 2 2

p e + ρ g y e = p s + ρ g y s

Vimos também que

p e - p s = 1,00 × 10 5   P a

ρ = 1,00 × 10 3   k g / m 3

g = 10,0   m / s 2

Podemos substituir essas coisas na nossa equação, dessa forma:

p e - p s = ρ g y s - ρ g y e

p e - p s = ρ g ( y s - y e )

1,00 × 10 5 = 1 × 10 3 × 10,0 y s - y e

Passo 5

Agora olha que lindo: repara que y s - y e é h , o valor que a gente queria achar! Então a gente pode fazer:

h = y s - y e

1,00 × 10 5 = 1 × 10 3 × 10,0   h

h = 10,0   m

Prontinho!

Resposta

h = 10,0   m

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