Um riacho de efluentes industriais líquidos ( ρ = 0,90 × 10 3   k g / m 3 ) de largura l = 0,80   m e profundidade H = 0,10   m corre a céu aberto.

O riacho passa a ser canalizado em uma tubulação com seção reta circular de diâmetro D = 8,0   c m , que corre ao longo da horizontal de modo que o seu eixo central está a H ' abaixo do nível médio do rio.

Finalmente, o líquido é lançado num jato horizontal para a atmosfera.

Observa-se que a velocidade do riacho, v = 0,50   m / s , é aproximadamente horizontal e uniforme ao longo de toda seção reta. Considere os fluxos sempre laminares e uniformes. Considere H ≪ H ' e D ≪ H ' .

Dado: P a t m = 1 . 10 5 P a

  1. Calcule a vazão do riacho.
  2. Calcule a velocidade v ' do líquido dentro da tubulação horizontal.
  3. Calcule a pressão num ponto qualquer dentro da tubulação.
  4. Calcule a profundidade H ' da tubulação.

Passo 1

a):

Pra descobrir a vazão podemos pensar na seção transversal do riacho e relacioná-la com a sua velocidade.

Sabendo que a área transversal será dada por:

A = l H

A vazão será o produto dessa área pela velocidade:

V ' = A v = l H v = 0,8 . 0,1 . 0,5 = 0,040 m 3 / s

Passo 2

b):

Vamos usar o princípio da continuidade aqui. Como a vazão é constante, a vazão na tubulação será a mesma que a do riacho. Bem, essa vazão, a da tubulação, será dada por:

V t u b ' = A v '

Sendo que a área da tubulação pode ser calculada usando-se o raio da tubulação (metade do diâmetro). Logo:

R = d 2 = 4 c m

Logo a área será:

A = 4 . 10 - 2 2 π = 16 . 10 - 4 π

Logo:

V t u b ' = V ' = 0,040   → 16 x 10 - 4 π v ' = 0,040   → v ' = 0,040 16 x 10 - 4 π ≅ 8 m / s

Passo 3

c):

Vamos usar Bernoulli pra comparar um ponto no jato com um ponto no interior do tubo. Os dois pontos terão a mesma altura e a mesma velocidade, então:

ρ g h 1 + ρ v 1 2 2 + P 1 = ρ g h 2 + ρ v 2 2 2 + P 2

Onde as variáveis com índice 2 indicam o ponto do jato e as de índice 1 o ponto no interior do tubo.

Bom, v 1 = v 2 e h 1 = h 2 , logo:

P 1 = P 2

No entanto, a pressão em 2 é a pressão atmosférica. Então:

P 1 = P t u b o = P a t m = 1 . 10 5 P a

Passo 4

d):

Vamos comparar aqui um ponto no meio do riacho com um ponto na tubulação. Vamos usar Bernoulli, e pra isso vamos considerar o nível de potencial gravitacional zero o nível da tubulação.

Além disso, lembrando que D ≪ H ' , consideremos que D ≅ 0 . Então a equação de Bernoulli fica:

P A + ρ g H A + ρ v A 2 2 = P B + ρ g H B + ρ v B 2 2

Como P A = P B = P a t m , H B = 0 , H A = H ' , v A = 0,50 m / s e v B = 8 m / s :

1,0 . 10 5 + 1 2 ρ v A 2 + ρ g H ' = 1,0 . 10 5 + 0 + ρ v B 2 2

H ' = 1 2 g . v B 2 - v A 2 = 8 2 - 0,5 2 2 x 10 ≅ 3,2 m

Resposta

a):

V ' = 0,040 m 3 / s

b):

v ' ≅ 8 m / s

c):

P t u b o = P a t m = 1 . 10 5 P a

d):

H ' = 8 2 - 0,5 2 2 x 10 ≅ 3,2 m

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