A figura ao lado ilustra um recipiente cilíndrico (cilindro reto, de base circular) de área transversal A 2 , contendo líquido ideal de densidade ρ . O cilindro é aberto para a atmosfera (pressão atmosférica p 0 ) na sua parte superior. A uma distância h abaixo da superfície do líquido existe uma torneira cilíndrica de área transversal A 1 , por onde o fluido pode escoar com velocidade v 1 . Por outro lado, a velocidade da superfície do fluido é denotava por v 2 . Considere que a aceleração da gravidade no local é constante e representada por g , como indicado na figura.

  1. Usando a equação da continuidade, escreva v 2 em termos de v 1 , A 1 e A 2 .
  2. Usando a equação de Bernoulli, calcule o valor de v 1 . Expresse seu resultado em termos de A 1 , A 2 , g e h .
  3. Suponha que a tampa seja colocada na parte superior do cilindro e que o ar entre a tampa e o líquido seja mantido a pressão p constante. Para esta situação, calcule o ovo valor de v 1 . Na sua resposta deste item considere que A 2 ≫ A 1 , de tal forma que v 2 ≈ 0 . Expresse seu resultado em termos de p 0 , p , ρ , g e h .

Passo 1

Vamos lá! Como no item (a) ele pede para usar a equação da continuidade, ou seja,

A 1 v 1 = A 2 v 2

Ele pede para escrevermos v 2 . Portanto

v 2 = A 1 v 1 A 2 .

Já acabamos o item (a). Vamos para o próximo.

Passo 2

No item (b), ele quer v 1 usando a equação de Bernoulli.

A equação de Bernoulli pode ser escrita como

p 0 + ρ v 1 2 2 + ρ g h 1 = p 0 + ρ v 2 2 2 + ρ g h 2 .

Podemos ajustar essa equação como

ρ v 1 2 2 + ρ g h 1 = ρ v 2 2 2 + ρ g h 2

Como queremos achar v 1 , precisamos isolar ele

v 1 2 = v 2 2 + 2 g h 2 - 2 g h 1 = v 2 2 + 2 g ( h 2 - h 1 )

Veja a figura.

Repare que a

h = h 2 - h 1

portanto

v 1 2 = v 2 2 + 2 g h

Passo 3

Como ele quer que a resposta esteja expressa em termos de A 1 , A 2 , g e h . Precisamos retomar o valor obtido no item (a). Lembrar que

v 2 = A 1 v 1 A 2

Logo

v 1 2 = A 1 v 1 A 2 2 + 2 g h

Agora só precisamos manipular essa expressão, isolando v 1 .

v 1 2 - A 1 2 A 2 2 v 1 2 = 2 g h

v 1 2 1 - A 1 2 A 2 2 = 2 g h

v 1 = 2 g h 1 - A 1 2 A 2 2

Pronto. Resolvemos o item (b).

Passo 4

No item (c), precisamos levar em consideração que quando fechamos o cilindro, a pressão na borda de A 2 passa a ser constante p . Então agora precisamos aplicar novamente a equação de Bernoulli

p 0 + ρ v 1 2 2 + ρ g h 1 = p + ρ v 2 2 2 + ρ g h 2

Levando em consideração que no enunciado diz para considerarmos que v 2 ≈ 0 , temos

p 0 + ρ v 1 2 2 + ρ g h 1 = p + ρ g h 2

Então agora precisamos isolar o v 1

v 1 2 = 2 p - p 0 ρ + 2 g ( h 2 - h 1 )

Novamente usaremos que

h = h 2 - h 1

Portanto

v 1 = 2 p - p 0 ρ + g ( h 2 - h 1 )   .

Pronto, finalizamos a questão.

Resposta

a )       v 2 = A 1 v 1 A 2

b )     v 1 = 2 g h 1 - A 1 2 A 2 2

c )   v 1 = 2 p - p 0 ρ + g ( h 2 - h 1 )    

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