Um fluido incompressível flui da esquerda para a direita por uma tubulação de seção reta circular com diâmetro variável. A figura mostra apenas um pedaço da tubulação, que sai para a atmosfera no ponto 2 . A densidade do fluido é de 0,800 × 10 3   k g / m 3 e os diâmetros das seções transversais em 1 e em 2 são iguais a 3,00   c m e 1,00   c m , respectivamente. O ponto 2 está 1,50   m acima do ponto 1 . Deseja-se uma vazão de saída de 1,00   l i t r o   p o r   s e g u n d o .

a ) Determine quais devem ser as velocidades de escoamento no ponto 1 , v 1 , e no ponto 2 , v 2 .

b ) Determine a pressão manométrica a que deve estar submetido o fluido no ponto 1 para que se obtenha a vazão desejada.

c ) Calcule a potência necessária para fornecer essa vazão.

Passo 1

a )

Para determinar as velocidades de escoamento, iremos usar a definição de vazão em volume, já que foi dado no enunciado a vazão no ponto 2 :

Q v = Δ V Δ T = A . v

Onde A é a área da seção e v , a velocidade!

Do enunciado, temos:

Q v = 1   l i t r o   p o r   s e g u n d o = 1 × 10 - 3   m 3 / s

Substituindo na equação:

1 × 10 - 3 = A 2 . v 2

1 × 10 - 3 = π . 1 × 10 - 2 2 2 . v 2  

v 2 =   12,7   m / s

Pela equação da continuidade. Temos:

A 1 . v 1 = A 2 . v 2

π . 3 × 10 - 2 2 2 . v 1 = π . 1 × 10 - 2 2 2 . 12,7

v 1 = 1,41   m / s

Passo 2

b )

Para determinar a pressão manométrica p 1 a que deve ser submetido o líquido, devemos utilizar a equação de Bernoulli:

p 1 + 1 2 . ρ . v 1 2 + ρ . g . h 1 = p 2 + 1 2 . ρ . v 2 2 + ρ . g . h 2

Vamos agora reunir os dados que temos para substituir nessa equação:

p 2 = p o = 1,01 × 10 5   P a  

ρ = 0,800 × 10 3   k g / m 3

v 1 = 1,41   m / s

v 2 = 12,7   m / s

h 1 = 0

h 2 = 1,50   m

Agora é só calcular a pressão manométrica, lembrando que ela é dada por:

p m a n = p 1 - p 0

Agora é só substituir na equação:

p 1 + 1 2 . ρ . v 1 2 + ρ . g . 0 = p 0 + 1 2 . ρ . v 2 2 + ρ . g . h 2

p 1 - p 0 = 1 2 . ρ . v 2 2 + ρ . g . h 2 - 1 2 . ρ . v 1 2

p 1 - p 0 = ρ . 1 2 . v 2 2 + g . h 2 - 1 2 . v 1 2

p m a n = 0,800 × 10 3 . 1 2 . 12,7 2 + 10 .   1,50 - 1 2 . 1,41 2

p m a n = 7,57 × 10 4   P a

Passo 3

c )

Para determinar a potência necessária, precisamos lembrar que ela pode ser definida da seguinte maneira:

P o t = F . v

Lembrando que pressão e força se relacionam da seguinte maneira:

p = F A

Temos:

P o t = F 1 . v 1 - F 2 . v 2

P o t = p 1 . A 1 . v 1 - p 2 . A 2 . v 2

P o t = p m a n + p 0 . A 1 . v 1 - p 0 . A 2 . v 2

P o t = p m a n . A 1 . v 1 + p 0 A 1 . v 1 - A 2 . v 2

P o t = p m a n . A 1 . v 1

Substituindo, temos:

P o t = 7,57 × 10 4 . π 4 . 9 × 10 - 4 .   1,41

P o t = 75,4   W

Resposta

a ) v 1 = 1,41   m / s , v 2 = 12,7   m / s

b ) p m a n = 7,57 × 10 4   P a  

c ) P o t = 75,4     W

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