(Cap 14 - Ex 46) Um sistema de irrigação de um campo de golfe descarrega a água de um cano horizontal à taxa de 7200 c m 3 / s . Em um ponto do cano em que o raio é 4,0cm, a pressão absoluta da água é 2,40 × 10 5 P a . Em um segundo ponto do cano, a água passa por uma constrição, onde o raio é 2,0 cm. Qual é a pressão absoluta da água ao passar por essa constrição?

Passo 1

E ai meus amores, bora lá?

Seja o ponto 1 onde r 1 = 4   c m e o ponto 2 esteja onde r 2 = 2   c m . A vazão do volume, A v , tem o valor 7200   c m 3 /   s em todos os pontos do tubo.

Aplicando a equação de continuidade:

A 1 v 1 = A 2 v 2

Onde:

  • A 1 é a área da seção transversal do cano no ponto em que o raio é igual a r 1 = 4   c m
  • v 1 é a velocidade da água nesse ponto 1
  • A 2 é a área da seção transversal do cano no ponto em que o raio é igual a r 2 = 2   c m
  • v 2 é a velocidade da água no ponto 2

Queremos encontrar a velocidade do fluido nos pontos 1 e 2 e, em seguida, usaremos a equação de Bernoulli para esses dois pontos para encontrar a pressão p 2 no ponto onde a água passa pelo raio de 2,0cm.

Passo 2

Assim, como sabemos que a área do círculo é:

A c í r c u l o =   π   .   r 2

Podemos substituir a área do cano por:

v 1 A 1 = v 1 π r 1 2 = 7200   c m 3 / s

Substituindo o valor do raio igual a r 1 = 4   c m :

v 1 π   4 2 = 7200   c m 3 / s

Encontramos que:

v 1 = 143,2 c m s

Passando para metros:

v 1 =   1,43   m / s

Vamos vazer o mesmo para a outra parte do cano, em que mudamos o raio:

v 2 A 2 = v 2 π r 2 2 =   7200   c m 3 / s

Substituindo o valor do raio igual a r 2 = 2   c m :

v 2 π   2 2 = 7200   c m 3 / s

Encontramos que:

v 2 = 573,0 c m / s

Passando para metros:

v 2 = 5,73   m / s

Passo 3

Aplicando a equação de Bernoulli:

p 1 + ρ g y 1 + 1 2 ρ v 1 2 = p 2 + ρ g y 2 + 1 2 ρ v 2 2

Temos que fazer algumas considerações. Como os dois pontos do cano estão na mesma altura, uma vez que o cano é horizontal, logo y 1 = y 2 , então podemos cortar essa parte da equação e ficamos com:

p 1 + 1 2 ρ v 1 2 = p 2 + 1 2 ρ v 2 2

Onde:

  • p 1 é a pressão no ponto 1 do cano, nós já conhecemos essa pressão do enunciado e ela é p 1 = 2,40 × 10 5   P a
  • v 1 é a velocidade da água que passa pelo cano no ponto 1e nós já calculamos ela no segundo passo, v 1 =   1,43   m / s
  • ρ é a densidade da água que passa pelo cano, essa densidade é conhecida universalmente e é ρ =   997   k g / m ³
  • v 2 é a velocidade da água que passa pelo cano no ponto 2 e nós já calculamos ela no segundo passo, v 2 = 5,73   m / s
  • p 2 é a pressão no ponto 2 que desejamos calcular desde o início.

Então vamos deixar a pressão p 2 que desejamos encontrar de um lado só da equação:

p 2 = p 1 + 1 2 ρ v 1 2 - 1 2 ρ v 2 2

Colocando em evidência alguns elementos:

p 2 = p 1 + 1 2 ρ v 1 2 - v 2 2

Agora basta substituir os valores que já conhecemos:

p 2 = 2,40 × 10 5   + 1 2 × 997 ×   1,43 2 - 5,73 2

Dividindo a densidade por dois e elevando as velocidades ao quadrado:

p 2 = 2,40 × 10 5 + 498,5 × 2,045 - 32,833

Substraindo os valores dentro do parêntesis:

p 2 = 2,40 × 10 5 + 498,5 × - 30,788

Realizando a multiplicação e somando:

p 2 = 2,40 × 10 5 - 0,15   × 10 5

Logo:

p 2 = 2,25 × 10 5   P a

Percebemos que onde a área diminui, a velocidade aumenta e a pressão diminui.

Resposta

2,25 × 10 5   P a

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