Enunciado

Um tanque aberto na parte superior contém uma grande quantidade de água (de densidade ρ ) que pode ser esgotada por meio de um cano ligado à sua parte inferior. A secção reta do cano na região do ponto X , localizado a uma altura h 1 abaixo do nível da água, é A 1 , e na região Y , localizado a uma altura h 2 abaixo de X , é A 2 = A 1 / 2 . No final do encanamento existe uma válvula V . Considere que a área da superfície do tanque é muito maior que área da secção reta da tubulação. Calcule:

  1. A pressão nos pontos X e Y com a válvula fechada.
  2. A velocidade da água no ponto Y com a válvula aberta.
  3. A pressão no ponto X com a válvula aberta.

Passo 1

a):

Primeeeeiro de tudo, vamos definir dois pontos: ponto A na superfície do tanque, a uma altura igual a h 1 + h 2 , e ponto B nas proximidades da válvula V com altura igual a zero. Repare que eu to tomando o ponto B como referência.

Show, agora podemos continuar.

Aqui nós podemos aplicar stevin, já que não há escoamento e, logo, estamos no regime hidrostático.

Então, a pressão no ponto X vai ser igual a pressão de A mais a pressão causada pela coluna de fluido. Como A está aberta pra atmosfera, vamos chamar a pressão de A de P 0 . Logo:

P x = P 0 + ρ g h 1

Analogamente, a pressão em y será:

P y = P 0 + ρ g ( h 1 + h 2 )

Passo 2

b):

Beleza, agora vamos mudar nossa lógica e aplicar Bernoulli.

Agora o referencial de altura zero está em y . Além disso, como y está próximo da abertura do cano, a pressão em y é P 0 . Então, aplicando Bernoulli entre A e B :

ρ g h 1 + h 2 + P 0 = P 0 + ρ v y 2 2

v y 2 = 2 g h 1 + h 2

v y = 2 g h 1 + h 2

Passo 3

c):

Agora pra achar a pressão em X , nós vamos aplicar Bernoulli entre A e X . Pra isso a gente precisa do valor da velocidade em X . Vamos usar o principio da continuidade entre y e x pra achar isso:

v y A 1 2 = v x A 1

v x = v y 2 = 2 g h 1 + h 2 2

Agora, aplicando Bernoulli:

P 0 + ρ g h 1 = P x + ρ v x 2 2 → P x = P 0 + ρ g h 1 - ρ 2 . g h 1 + h 2 2 = P 0 + ρ g h 1 - ρ g h 1 + h 2 4

P x = P 0 + 3 ρ g h 1 4 - ρ g h 2 4 = P 0 + ρ g 3 h 1 - h 2 4

Resposta

a):

P x = P 0 + ρ g h 1

P y = P 0 + ρ g ( h 1 + h 2 )

b):

v y = 2 g h 1 + h 2

c):

P x = P 0 + ρ g 3 h 1 - h 2 4

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