A figura mostra um esquema de captação de água para uma usina hidrelétrica. Mais à direita, um detalhe da saída do tubo no gerador quando a água já passou pela turbina. Sabendo que a diferença de pressão ∆ p = p 1 - p 2 = 2,560   a t m , que d 1 / d 2 = 4 , A E = 2 A 1 = 0,3870   m 2 , D = 180 m e p E n t = 2,00   a t m determine (respostas com 3 algarismos significativos e em notação científica):

  1. A velocidade de escoamento v 1
  2. Considere agora que a altura do espelho de água do reservatório em relação a entrada do tubo seja constante ao longo de um dia. Determine o volume total escoado pela usina em 24 horas
  3. Determine a profundidade do tubo de entrada de água em relação a superfície de água no reservatório quando não há escoamento de água pela tubulação da turbina. Neste regime, a pressão na altura do tubo de entrada vale p E n t = 2,00   a t m

Passo 1

Fala pessoal, tudo certo? Vamos começar? Olha só, nossa questão quer antes de mais nada a velocidade de escoamento da água imediatamente depois de sair do gerador, isto é, v 1 . Então bora pensar, qual equação eu posso usar que relaciona a velocidade de escoamento com dados que eu sei? Que tal tentar Bernoulli?

p 1 + ρ g h 1 + ρ   v 1 2 2 = p 2 + ρ g h 2 + ρ   v 2 2 2

Parece uma boa né? Até porque a velocidade aparece na fórmula! Escolhendo então esses marcos como ponto 1 e 2 :

Estamos na verdade escolhendo esses dois pontos:

Show de bola, eu tenho informações sobre eles em! Vamos simplificar Bernoulli agora. Pra início de conversa, vamos ter que ρ g h 1 = ρ g h 2 , já que ρ g é uma constante e a gente não mudou de altura entre um ponto e o outro. A equação simplifica então para:

p 1 + ρ   v 1 2 2 = p 2 + ρ   v 2 2 2

Reorganizando:

p 1 - p 2 = ρ   v 2 2 2 - ρ   v 1 2 2

∆ p = ρ   v 2 2 - v 1 2 2

ρ   v 2 2 - v 1 2 = 2 ∆ p

v 2 2 - v 1 2 = 2 ∆ p ρ               I

Agora, olha só uma coisa importante, apesar da velocidade mudar de um ponto pro outro, a vazão volumétrica Q não muda! Então:

Q = A 1 v 1 = A 2 v 2

v 2 = A 1 A 2 ∙   v 1

Como as seções transversais são circulares, podemos escrever essas áreas como áreas de um círculo:

v 2 = π   R 1 2 π   R 2 2 ∙   v 1 = R 1 2 R 2 2 ∙   v 1

E como o raio é metade do diâmetro:

v 2 = d 1 2 2 d 2 2 2 ∙   v 1 = d 1 2 ∙ 2 d 2 2 ∙   v 1 = d 1 2 ∙ 2 d 2 2 ∙   v 1

v 2 = d 1 d 2 2 ∙   v 1

E opa, ó só! A relação d 1 d 2 é dado do enunciado! Colocando ela ai:

v 2 = 4 2 ∙   v 1

v 2 = 16   v 1

v 2 2 = 256   v 1 2               I I

Por fim, juntando I e I I :

256   v 1 2 - v 1 2 = 2 ∆ p ρ

255   v 1 2 = 2 ∆ p ρ

v 1 2 = 2   ∆ p 255   ρ

v 1 = 2   ∆ p 255   ρ

Letra a resolvida galera, porque a diferença de pressão é dado do enunciado e a densidade é uma propriedade da água. Seja então, no S I :

  • ∆ p = 2,560   a t m = 2,56 ∙ 1 ∙ 10 5   P a = 2,56 ∙ 10 5   P a
  • ρ = 10 3 k g / m 3

A velocidade, também no S I , será:

v 1 = 2   ∙   2,56 ∙ 10 5 255   ∙   10 3

v 1 = 1,4 2   m / s

Passo 2

A próxima letra quer da gente um volume total. E inclusive, a questão nos dá uma informação valiosa: “a altura do espelho de água do reservatório em relação a entrada do tubo é constante ao longo de um dia”. Galera, isso é importante porque na entrada do tubo:

A pressão vai ser a da coluna de água somada a atmosférica. Se a altura do espelho de água não muda, a coluna de água continua constante e logo, a pressão sobre esse ponto também! E se a pressão não variou ao longo do dia, a vazão volumétrica também não! Portanto, seja:

Q = V t

V = Q t

Como o tempo é de 24 h = 24 ∙ 60   m i n = 24 ∙ 60   ∙ 60   s = 86 . 400   s , temos:

V T O T A L = 86 . 400 ∙ Q

Como estamos numa parte do problema o diâmetro do tubo não diminui ainda, temos:

V T O T A L = 86 . 400 ∙ A 1 ∙ v 1

Do enunciado e da letra a , tiramos:

  • A E = 2 A 1 = 0,3870   m 2 → A 1 = 0,1935   m 2
  • v 1 = 1,42   m / s

Tudo no S I galera, só substituir então:

V T O T A L = 86 . 400 ∙ 0,1935   ∙ 1,42

V T O T A L = 23.740,128   m 3

V T O T A L = 2 , 3 7   ∙ 10 4   m 3

Passo 3

Mais uma letra e a gente parte pro abraço, viu? A questão quer saber a profundidade do tubo em relação a superfície da água. La na letra 2 a gente não conversou sobre a pessão de entrada ser a atmosférica mais a da coluna d’água? Então, seja h o tamanho da coluna de água e, logo, também a profundidade relativa do tubo, temos:

p E n t = p a t m + p H 2 O

p E n t = p a t m + ρ g h

ρ g h = p E n t - p a t m

h = p E n t - p a t m ρ g

Show galera, é só substituir agora! Afinal o enunciado deu pra gente p E n t = 2,00   a t m e o resto a gente sabe! Vamos ter:

h = 2   a t m - 1   a t m 10 3 k g / m 3 ∙ 10   m / s 2

h = 1   a t m 10 3 k g / m 3 ∙ 10   m / s 2

Convertendo a pressão lá em cima pra Pascal, ficamos com tudo no S I e a resposta já sai em metros:

h = 1 ∙ 10 5 P a 10 3 k g / m 3 ∙ 10   m / s 2

h = 10   m

Resposta

  1. v 1 = 1,42   m / s
  2. V T O T A L = 2,37   ∙ 10 4   m 3
  3. h = 10   m

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