I Na figura abaixo, a água escoa suavemente pela tubulação descendo uma altura H = 0,20 m do ponto 1 ao ponto 4. Os pontos 1 e 2 estão na mesma altura, assim como os pontos 3 e 4. A área da seção reta no ponto 1 é A 1 = 1,00   c m 2 . As áreas das seções retas dos tubo em 4,3 e 2 têm a relação: A 4 = 2 A 3 = 2 A 2 = 4 A 1 .

Mede-se a diferença de pressão entre os pontos 4 e 1 e obtém-se ∆ p 41 = p 4 - p 1 = 3,00 x 10 3   P a . Considere g = 10   m / s 2 , ρ á g u a = 1,00 x 10 3 k g / m 3 :

  1. Determine a expressão para a velocidade de escoamento no ponto 1, v 1 , em função de H , ∆ p 41 , g e ρ á g u a . Calcule essa velocidade v 1 .
  2. Determine a diferença de pressão entre os pontos 3 e 4, ∆ p 34 = p 3 - p 4 .
  3. I I A figura representa uma caixa d’água alimentada com água bombeada à razão de 20 litros por minuto. A superfície livre de água na caixa tem área A = 1,0   m 2 . Dois canos( 1 e 2) distribuem a água a dois apartamentos.

  4. Calcule a velocidade do nível da água na caixa quando as vazões nos apartamentos são 5,0   l / m i n e 3,0 l / m i n respectivamente. ( Dê a resposta em m / s e c m / m i n ).

Passo 1

a), bom, como era de se esperar, vamos usar a equação de Bernoulli nessa questão.

Além disso, vamos usar a equação da continuidade. Vamos deixar essa parte pronta loga pra depois substituirmos:

A 1 v 1 = A 4 v 4 → v 4 = A 1 v 1 A 4 = v 1 4

Sacou? Deixamos v 4 em função de v 1 pra gente substituir no fim. Afinal, queremos descobrir o v 1 . Então:

ρ v 1 2 2 + ρ g H + p 1 = ρ v 4 2 2 + ρ g 0 + p 4

Usamos o nível zero como o nível onde estão os pontos 3 e 4. Então:

ρ v 1 2 2 - ρ v 4 2 2 = ∆ p 41 - ρ g H

ρ 2 v 1 2 - v 1 2 16 = ∆ p 41 - ρ g H

ρ 2 15 16 v 1 2 = ∆ p 41 - ρ g H

v 1 = 32 ∆ p 41 - ρ á g u a g H 15 ρ á g u a ≅ 1,46   m / s

Passo 2

b):

Como os pontos estão a mesma altura, aplicar Bernoulli fica fácil:

ρ v 3 2 2 + p 3 = ρ v 4 2 2 + p 4

Então:

p 3 - p 4 = ρ 2 v 4 2 - v 3 2  

Pela equação da continuidade:

A 3 v 3 = A 4 v 4   → v 3 = A 4 v 4 A 3 = 4 A 1 v 4 2 A 1 = 2 v 4

Só que quanto vale v 4 ? Lembrando de a) que:

v 4 = v 1 4 = 1,46 4 = 0,365   m / s

Então:

v 3 = 2 . 0,365 = 0,730   m / s

E:

∆ p 34 = 1,00 x 10 3 2 0,365 2 - 0,730 2 ≅ - 200   P a

Passo 3

c):

Bom, primeira coisa que vamos descobrir aqui é a taxa com o qual o volume varia. Isso é um pouco de cálculo 1, se você fizer uma força pra lembrar.

Temos ali uma fonte que fornece volume à caixa d’água, e duas fontes que retiram volume. Então a taxa total é dada por:

V ' = 20 - 3 + 5 = 12   l / m i n

Show!

Agora é muito simples, temos a vazão e a área, pra descobrir a velocidade com que o nível da água varia, basta aplicar a definição de vazão:

V ' = A v   → v = V ' A

Mas antes vamos ter que fazer umas conversões.

Lembrando que um litro tem 1000   m l = 1000   c m 3

E 1 m i n = 60 s :

V ' = 12.1000 60 = 200   c m 3 / s = 200   x 10 - 6 m 3 / s = 2 x 10 - 4 m 3 / s

Mas também podemos escrever ( só substituindo o valor de um litro):

V ' = 1,2   c m / m i n

Resposta

a):

v 1 ≅ 1,46   m / s

b):

∆ p 34 ≅ - 200   P a

c):

V ' = 2 x 10 - 4 m 3 / s

V ' = 1,2   c m / m i n

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