Uma caixa d'água hemisférica com raio R = 2 m está completamente cheia de água e com seu ponto mais baixo suspenso a uma altura H = 23 m do solo. O topo da caixa d'água está fechado com um teto plano na horizontal (ver figura). O fundo da caixa está conectado a um cano com 10 cm de raio e que se estende até o solo. Se a água no cano escoa em regime estacionário e com velocidade v2 = 20 m/s, determine:

(a) (1,0) A velocidade de escoamento da água no topo da caixa d’água.

(b) (2,0) Determine a pressão no topo da caixa d'água, entre a tampa e a superfície da água. Neste item considere que a velocidade no topo da caixa d'água é muito menor que a velocidade no cano v2.

Dados: Pressão atmosférica patm = 10 5 Pa, densidade da água ρ = 103 kg/m3 e a aceleração gravitacional g = 10 m/s2.

Passo 1

a) Aqui a gente vai ter que usar o princípio da continuidade:

A 1 v 1 = A 2 v 2

Substituindo:

π R 2 v 1 = π r 2 v 2

π ( 2 ) 2 v 1 = π ( 0,1 ) 2 ∙ 20

v 1 = 0,05   m / s

Passo 2

b) Vamos aplicar Bernoulli entre os dois pontos:

p 1 + ρ g h 1 + ρ v 1 2 2 = p 2 + ρ g h 2 + ρ v 2 2 2

Eu vou usar o ponto 2 como referencial, ok? Ou seja, no ponto 2: h2=0.

Queremos achar p1! O que nessa equação nós não temos? (Além de p1, claro.)

h 1 = H + R = 23 + 2 = 25 m

v 1 = 0,05   m / s

A pressão no ponto 2 vai ser a pressão atmosférica! Porque o ponto 2 está na atmosfera. Então:

p 2 = 10 5   P a

h 2 = 0

v 2 = 20   m / s

Então nós temos tudo que precisamos! Vamos substituir:

p 1 = - ρ g h 1 - ρ v 1 2 2 + p 2 + ρ v 2 2 2

A questão mandou considerar v 1 muito pequeno, então vamos anular a parcela que tem v 1 2 .

p 1 = - 1000 ∙ 10 ∙ 25 + 100000 + 1000 ∙ ( 20 ) 2 2

p 1 = 50000 = 0,5 ∙ 10 5 P a

Resposta

a) v 1 = 0,05   m / s

b) p 1 = 50000 = 0,5 ∙ 10 5 P a

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