De uma barragem parte uma canalização de diâmetro interno d 1 = 25,0   c m , com poucos metros de extensão, havendo depois uma redução para d 2 = 10,0   c m . Do tubo de diâmetro d 2 , a água passa para a atmosfera sob a forma de um jato. A vazão foi medida, encontrando-se 100 L/s. Considerando o escoamento ideal, calcule:

a) a pressão manométrica na parte inicial do tubo de diâmetro d 1 .

b) a altura H de água na barragem.

c) a densidade de energia cinética transportada pelo jato e a potência do jato (energia por unidade de tempo).

Passo 1

Questão de hidrodinâmica já lembra logo que só tem duas fórmulas! O princípio da continuidade:

R = A v = c t e

Onde R é a vazão de líquido (volume/tempo), A é a área da seção reta e v a velocidade do líquido naquea região.

E a equação de Bernoulli:

p + 1 2 ρ v 2 + ρ g h = c t e

Ambas são sempre usadas para comparar as propriedades entre 2 pontos diferentes.

Vamos lá resolver!

Passo 2

  1. A pressão manométrica na região 1.
  2. Como temos informações sobre a região 2, vamos usar a equação de Bernoulli entre 1 e 2. Como os dois estão na mesma altura, podemos cortar essa parte da equação:

    p 1 + 1 2 ρ v 1 2 = p 2 + 1 2 ρ v 2 2

    Como 2 está em contato com a atmosfera, então p 2 = p a t m .

    Lembrando que p m a n o m é t r i c a = p - p a t m , então a pressão manométrica em 1 vai ser:

    p 1 - p a t m = p 1 - p 2 = 1 2 ρ ( v 2 2 - v 1 2 )

    Basta a gente calcular as velocidades em 1 e em 2. Mas como?

    Passo 3

    Usando a outra fórmula (lembra que só existem duas mesmo), o princípio da continuidade:

    R = A v = c t e

    Para o ponto 2, como sabemos a vazão ( R 2 ), podemos usar que:

    R 2 = A 2 v 2

    A seção reta do cano, em 2, é um círculo de diâmetro d 2 = 0,1 m , então

    R 2 = π d 2 2 2 v 2

    Como R 2 = 100 L / s   = 0,1 m 3 / s

    0,1 = π 0,1 2 2 v 2

    v 2 = 12,73   m / s

    Agora para calcular v 1 podemos aplicar o princípio da continuidade (de novo) só que agora entre 1 e 2:

    R 2 = A 2 v 2 = A 1 v 1 = R 1

    v 1 = R 2 A 1 = R 2 π d 1 2 2

    v 1 = 0,1 π 0,25 2 2 = 2,037   m / s

    Passo 4

    Podemos agora jogar na equação de Bernoulli:

    p 1 m a n o m é t r i c a = 1 2 ρ v 2 2 - v 1 2

    p 1 m a n o m é t r i c a = 1 2 1000 12,73 2 - 2,037 2

    p 1 m a n o m é t r i c a = 7,9 × 10 4   P a

    Passo 5

  3. A altura H.
  4. Para poder incluir o H na equação, podemos usar a equação de bernoulli entre um ponto da superfície (vou chamar de ponto zero) e o ponto 2 (que já sabemos um monte de informações mesmo).

    p 0 + 1 2 ρ v 0 2 + ρ g h 0 = p 2 + 1 2 ρ v 2 2 + ρ g h 2

    Os dois pontos escolhidos estão em contato direto com a atmosfera, então p 0 = p 2 = p a t m .

    Se considerarmos o zero de altura como sendo altura do ponto 2, teremos h 2 = 0 e h 0 = H .

    A velocidade no ponto 2 já calculamos antes ( v 2 = 12,73   m / s ).

    Já na superfície, como a área da superfície é muito maior do que a área do ponto 2, podemos considerar que a velocidade do líquido vai ser praticamente zero, pois o líquido vai descer muito lentamente.

    Se você preferir ver isso matematicamente, pelo princípio da continuidade:

    A 0 v 0 = A 2 v 2

    v 0 = A 2 A 0 v 2

    Como A 0 ≫ A 2 , então v 0 ~ 0 .

    Substituindo tudo isso lá na equação de Bernoulli:

    p a t m + 1 2 ρ 0 2 + ρ g H = p a t m + 1 2 ρ v 2 2 + ρ g 0

    ρ g H = 1 2 ρ v 2 2

    H = v 2 2 2 g = 12,73 2 2 ∙ 10

    H = 8,10   m

    Passo 6

  5. A densidade de energia cinética e a potência no jato.

A energia cinética você lembra, né?

K = 1 2 m v 2

A densidade de energia cinética vai ser isso dividido pelo volume

K V = 1 2 m V v 2  

Lembrando que

ρ = m V

Teremos no ponto 2 (no jato):

K V = 1 2 ρ v 2 2

K V = 1 2 1000 ∙ 12,73 2 = 81 × 10 3   J / m 3

Passo 3

Já a potência (energia por unidade de tempo), vai ser

P = d E d t

Onde E = K + U .

Como a energia potencial (U) vai ser constante, pois a região 2 está em altura constante,

P = d K d t

Sabemos que K / V = 81 × 10 3   J / m 3 , para obtermos K, basta multiplicar pelo volume,

K = 81 × 10 3 V

P = 81 × 10 3 d V d t

Aqui, temos que lembrar que a variação de volume em relação ao tempo é justamente o que chamamos de vazão volumétrica (R):

d V d t = R 2 = 100   L / s = 0,1   m 3 / s

Então,

P = 81 × 10 3 J m 3 0,1 m 3 s

P = 8,1 × 10 3   W

Resposta

  1. p 1 = 7,9 × 10 4   P a
  2. H = 8,10   m
  3. K V = 81 × 10 3   J / m 3 , P = 8,1 × 10 3   W

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