O suprimento de água de uma casa é feito por um tubo de 4 cm de diâmetro (ponto 1). Um tubo com diâmetro de 2 cm leva a água a uma altura de 7 m até a caixa d’água (ponto 2). A bomba coloca 600 L de água na caixa em 10 minutos. Considere o escoamento ideal.

a) Calcule a velocidade com que a água sai para a caixa.

b) Calcule a pressão manométrica que a bomba deve manter no ponto 1.

c) Calcule a potência da bomba para manter essa vazão.

Passo 1

a) Vamos primeiro calcular a vazão. Constante, pela lei da continuidade. Então:

Q = 600   L 10   m i n = 0,6   m 3 600   s = 0,001   m 3 s

Beleza! Já que a vazão é constante, podemos encontrar a velocidade:

Q = v 2 A 2

Q = v 2 ∙ π d 2 2 2

0,001 = v 2 ∙ 3 ∙ 0,02 2 2

0,001 = v 2 ∙ 3 ∙ 0,0001

v 2 = 3,33   m / s

Passo 2

b) Aqui a gente vai ter que aplicar Bernoulli. Vou fazer o ponto 1 como referência, ou seja, h 1 = 0 , ok? Então vamos lá.

p 1 + ρ v 1 2 2 = p 2 + ρ g h 2 + ρ v 2 2 2

O que nós queremos descobrir aqui é a pressão manométrica em 1! Isso vai ser igual a p 1 - p 2 . Então:

p 1 - p 2 = - ρ v 1 2 2 + ρ g h 2 + ρ v 2 2 2

Mas calma, nós não temos v 1 né? Então vamos à busca! Vou usar a vazão de novo:

Q = v 1 A 1

Q = v 1 ∙ π d 1 2 2

0,001 = v 1 ∙ 3 ∙ 0,04 2 2

0,001 = v 1 ∙ 3 ∙ 0,0004

v 1 = 0,83   m / s

Beleza! Voltando a Bernoulli então, vamos substituir todo mundo:

p 1 - p 2 = - 1000 ∙ ( 0,83 ) 2 2 + 1000 ∙ 10 ∙ 7 + 1000 ∙ ( 3,33 ) 2 2

p 1 - p 2 = - 344,45 + 70000 + 5544,45

p 1 - p 2 = 7,52 ∙ 10 4   N / m 2

Passo 3

c) A potência é igual à derivada da energia:

P = d E d t

A variação da energia vai ser a variação da energia cinética, mais a variação da energia potencial:

∆ E = 1 2 m v 2 2 - v 1 2 + m g ( h 2 - h 1 )

∆ E = 1 2 m v 2 2 - v 1 2 + m g h 2

Então:

d E d t = 1 2 v 2 2 - v 1 2 d m d t + g h 2 d m d t

E:

d m d t = ρ Q

Sendo ρ Q a vazão mássica! Então:

P = d E d t = 1 2 v 2 2 - v 1 2 + g h 2 ρ Q

Show! Substituindo os valores:

P = 1 2 3,33 2 - 0,83 2 + 10 × 7 1000 × 0,001

P = 75,2   W

Resposta

a) v 2 = 3,33   m / s

b) p 1 - p 2 = 7,52 ∙ 10 4   N / m 2

c) P = 75,2   W

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