Considere um sistema formado por um reservatório de água com área A 1 e altura H . O reservatório está conectado na parte inferior com uma tubulação cuja seção transversal tem área A 2   ≪   A 1 . A uma distância z   da base do reservatório, a tubulação faz uma curva de 90 graus mantendo a seção transversal com a mesma área A 2 e ficando paralela ao solo. Em seguida, a tubulação se conecta com uma outra de área A 3 < A 2 , cuja extremidade está aberta permitindo que a água saia com velocidade v 3 para o meio externo. Considere que a velocidade com que a superfície do líquido no reservatório desce seja muito menor do que as outras envolvidas no processo. Suponha conhecidas a densidade da água ρ , a aceleração da gravidade   g e a pressão atmosférica p 0 .

  1. Determine a velocidade v 2 no trecho horizontal de área A 2 em termos de A 3 ,   A 2 ,   g ,   H   e   z .
  2. Determine a pressão no trecho horizontal da canalização de área A 2 .

Passo 1

a)

Podemos fazer a seguinte coisa: Aplicar Bernoulli entre a superfície do tanque e a saída da água, na canalização de área A 3 .

Por que não vamos aplicar direto na parte da canalização de área A 2 ? Porque não sabemos a pressão ali, então temos que encontrar a velocidade ali de forma indireta.

Já na parte A 3 , podemos tomar o extremo da saída de água, que está sujeito à pressão atmosférica. Além disso, podemos considerar o referencial da altura o próprio nível A 3 .

Assim:

ρ g h 1 + P 1 + ρ v 1 2 2 = ρ g h 3 + P 3 + ρ v 3 2 2

Considerando v 1 ≅ 0 , já que desprezamos aa velocidade do fluido na superfície do reservatório, e sabendo que P 1 = P 3 = P a t m , além de h 3 = 0 (referencial) ficamos com:

ρ g H + z = ρ 2 v 3 2 → v 3 = 2 g H + z

Beleza?

Bom, com essa velocidade, basta a gente aplicar o princípio da continuidade entre os trechos 3   e   2 :

A 2 v 2 = A 3 v 3 → v 2 = A 3 v 3 A 2 = 2 g H + z . A 3 A 2

Passo 2

b)

Pra achar a pressão no trecho 2 , vamos aplicar novamente a equação de Bernoulli. Podemos aplicar entre o trecho 3 e o 2, por exemplo, já que eles estão na mesma altura, o que simplifica a expressão:

p 2 + ρ v 2 2 2 = p 3 + ρ v 3 2 2

A pressão em 3 é igual a atmosférica p 0 , e as velocidades foram encontradas nos itens anteriores:

p 2 + ρ 2 2 g H + z . A 3 A 2 2 = p 0 + ρ 2 2 g H + z 2

p 2 = p 0 + ρ 2 2 g H + z - 2 g H + z . A 3 A 2 2

p 2 = p 0 + ρ g ( H + z ) . 1 - A 3 A 2 2

Pronto (:

Resposta

a)

v 2 = A 3 v 3 A 2 = 2 g H + z . A 3 A 2

b)

p 2 = p 0 + ρ g ( H + z ) . 1 - A 3 A 2 2

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