Em uma indústria química, álcool (Etanol) com densidade ρ e t a n o l   =   0,789   g / c m 3 , escoa em regime laminar por um tubo cuja geometria é mostrada na figura. O líquido manométrico é o mercúrio e a diferença de altura h   =   0,155 m determina a diferença de pressão entre os dois setores do escoamento.

a) Determine a diferença de pressão Δ p   =   p 1 -   p 2   em atmosferas.

b) Determine a vazão do etanol sabendo que 1 r 2 4 - 1 r 1 2 = 2 π 2

Passo 1

Fala galera, tudo bem? Vou ajudar você a resolver essa questão! Vamos lá?

Letra (a):

A diferença de pressão é:

Δ p = h g ρ H g - ρ e t a n o l

Δ p = 0,155 9,8 13579 - 789

Δ p = 19428,01 P a

Δ p = 19,42 k P a

Tranquilo até aqui?

Passo 2

Letra (b):

Vamos primeiro lembrar que a vazão é a mesma nos dois pontos (a massa de etanol é a mesma que passa pelas duas áreas):

A 1 v 1 = A 2 v 2 = R

E em relação aos raios, temos:

π r 1 2 v 1 = π r 2 2 v 2

r 1 2 v 1 = r 2 2 v 2

v 2 = v 1 r 1 2 r 2 2

E vou elevar essa velocidade ao quadrado (você vai entender depois):

v 2 2 = v 1 2 r 1 4 r 2 4

Aqui vamos guardar essa relação com muito carinho.

Passo 3

Agora vamos olhar pra equação da continuidade com os dois pontos em cima das áreas e na mesma altura:

ρ g   y 1 + P 1 + ρ g v 1 2 2 = ρ g y 2 + P 2 + ρ g v 2 2 2

Como temos a mesma altura y 1 = y 2 , e temos o valor de P 1 - P 2 que calculamos no item anterior, então vou reorganizar essa equação:

P 1 - P 2 = ρ g v 2 2 2 - ρ g v 1 2 2

2 Δ p ρ g = ( v 2 2 - v 1 2 )

Lembra daquela relação que guardamos com carinho? Então, vou substituir v 2 2 aqui:

2 Δ p ρ g = v 1 2 r 1 4 r 2 4 - v 1 2

2 Δ p ρ g = v 1 2 r 1 4 r 2 4 - 1

2 Δ p ρ g = v 1 2 r 1 4 r 2 4 - r 1 4 r 1 4

E colocando r 1 4 em evidência temos os parênteses 1 r 2 4 - 1 r 1 2 que o problema nos disse que vale 2 π 2 :

2 Δ p ρ g = v 1 2 r 1 4 1 r 2 4 - 1 r 1 2

2 Δ p ρ g = v 1 2 r 1 4 2 π 2

Δ p ρ g = v 1 2 r 1 4 π 2

E vamos resgatar lá do passo anterior que a vazão em função do raio é v 1 r 1 2 π , daí apareceu a vazão ao quadrado na nossa expressão!

Δ p ρ g = R 2

R = Δ p ρ g = 19428,01 789.9,8

R = 1,58 m 3 / s

Beleza?

Pronto pra próxima questão? =)

Resposta

a )   Δ p = 19,42 k P a

b ) R = 1,58 m 3 / s

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