Considere um tanque onde a água ( ρ = 1,0 × 10 3 k g / m 3 ) pode escoar para fora passando por dois canos com seção retas de áreas diferentes. No exterior do tanque temos a pressão atmosférica P 0 = 1,0 × 10 5 P a . A área do cano exterior é A 1 = 2,0   c m 2 e a do cano interior é A 2 = 5,0   c m 2 . A altura h é desconhecida, e a área A 0 do tanque é muito maior que a área dos canos. A vazão através do cano A 1 é de R = 2,0 × 10 - 3 m 3 / s .

(a) Calcule a velocidade v 1 de saída da água.

(b) a velocidade da água ao longo do cano de área A 2 .

(c) a altura h .

(d) a pressão manométrica dentro do cano de área A 2 .

(e) a pressão manométrica no ponto C supondo que ele se encontra tão distante dos canos que a velocidade do fluido pode ser considerada nula.

Passo 1

Primeiro precisamos lembrar, ou saber haha, que a vazão de um liquído está relacionada com a área de escape de um fuido e pela velocidade que ele assume naquela região, ou seja

R = A i v i

Perceba que mesmo que a estejamos olhando para lugares distinto de nosso cano, a vazão está relacionada com a quantidade de água que deixa todo o conjunto por segundo.

Outra relação que é muito importante baixar é a equação de bernoulli que nos da que

v i 2 2 - g h i + P i ρ = v j 2 2 - g h j + P j ρ

Passo 2

(a) Seguindo a relação do passo 1, podemos escrever a velocidade como

v 1 = R A 1 = 2,0 × 10 - 3 m 3 / s 2,0   c m 2

Na qual temos que 2,0   c m 2 = 2,0 × 10 - 4 m 2 , visto que cada c m → 10 - 2 m , sendo assim temos

v 1 = 2,0 × 10 - 3 m 3 / s 2,0 × 10 - 4 m 2 = 10 - 3 - - 4 m s = 10   m / s

Assim dizemos que a velocidade da água que escoa pelo cano de área A 1 é dada por 10   m / s .

Passo 3

(b) Agora queremos saber a velocidade no cano que tem área transversal A 2 . Seguindo a mesma relação do passo anterior, temos que

v 2 = R A 2 = 2,0 × 10 - 3 m 3 / s 5,0   c m 2 = 2,0 × 10 - 3 m 3 / s 5,0 × 10 - 4 m 2

assim

v 2 = 0,4 × 10   m / s

Ou seja, a velocidade é de 4   m / s . Ou seja, visto que a área é maior a relação mostra que a velocidade é menor.

Passo 4

(c) vamos usar a equação de bernoulli dada no passo 1 por

v i 2 2 - g h i + P i ρ = v j 2 2 - g h j + P j ρ

Vamos tomar i = 0 , ou seja, o ponto mais alto do nosso tanque e j = 1 o ponto mais próximo da saída do cano.

Assim nossa relação se desenvolve em

0 2 2 - g ⋅ 0 + P 0 ρ = v 1 2 2 - g h + P 1 2

A ideia é que, na saída do cano, a pressão P 1 = P 0 , assim temos que

h = g v 1 2 2 = 10   m / s 2 2 ⋅ 9,8   m / s 2 ≈ 5,1   m

Passo 5

(d) Agora vamos usar a mesma relação do item anterior, entretanto pegando pontos diferentes do anterior.

Queremos saber qual é a pressão dentro do cano de área A 2 . Logo parece muito provável que um dos pontos que precisamos é em i = 2 , certo? E claramente o outro ponto que devemos tomar é a pressão no ponto j = 0 . Já que sabemos o valor dela lá.

Assim temos que

P 0 ρ = v 2 2 2 - g h + P 2 ρ

Multiplicando tudo por ρ e passando P 2 para o lado esquerdo, temos

P 2 - P 0 = P m 2 = ρ g h - v 2 2 2

Na qual P m 2 é a pressão manométrica dentro do cano A 2 . Ou seja

P m 2 = 10 3 k g m 3 9,8 m s 2 5,1   m - 4   m / s 2 2

E agora é conta hahaha

P m 2 = 4,198 × 10 4 P a

Passo 6

(e) Novameeeente vamos usar pela terceira vez a relação de Bernoulli, utilizada nos itens anteriores.

Só que agora temos a relação entre i = 0 e j = C .

v 0 2 2 - g h 0 + P 0 ρ = v C 2 2 - g h C + P C ρ

Como estamos muito longe do cano, como sugere o problema, então temos que nossa velocidade é dita praticamente nula. Assim temos que nossa equação se transforma em

P 0 ρ = - g h C + P C ρ

O que nos da que

P m C = P C - P 0 = ρ g h C

E perceba que nosso h c = h , então

P m C = 10 3 k g m 3 9,8 m s 2 5,1   m = 4,998 × 10 4 P a

Ou seja, devido a vazão, a pressão no ponto C é maior do que dentro do cano.

Resposta

  1. 10   m / s
  2. 4   m / s
  3. 5,1   m
  4. P m 2 = 4,198 × 10 4 P a
  5. P m C = 4,998 × 10 4 P a

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